Funció el·líptica: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 6:
:'' f(z + a) = f(z + b) = f(z)'' per a tot ''z'' pertanyent a '''C'''
i tal que ''a''/''b'' no és un [[nombre real|real]]. D'això es dedueix que
:'' f(z + ma + nb) = f(z)'' per a tot ''z'' pertanyent a '''C''' i per a tot enter ''m'' i ''n''.
En el desenvolupament de la teoria de les funcions el·líptiques, la majoria d'autors moderns utilitzen la notació creada per [[Karl Weierstrass]]: la notació de les [[funcions el·líptiques en forma de Weierstrass]] basades en la funció <math>\wp</math> és còmoda i qualsevol funció el·líptica pot ser expressada a partir d'aquestes. Weierstrass es va interessar en aquestes funcions quan era estudianta de [[Christoph Gudermann]], un estudiant de [[Carl Friedrich Gauss]]. Les [[funcions el·líptiques de Jacobi]] introduïdes per [[Carl Jacobi]], i la [[funció auxiliar theta]] (no doble periòdica), són més complicades però ambdues importants per a la història i per a la teoria general. La diferència més important entre aquestes dues teories és que les funcions de Weierstrass tenen pols d'alt ordre situats en els cantons d'un reticle periòdic, mentre que les funcions de Jacobi tenen pols simples.
L'estudi de les funcions el·líptiques està estretament relacionat amb l'estudi de les[[funcions modulars]] i les [[formes modulars]], relació demostrada pel [[teorema de Taniyama-Shimura]]. Alguns exemples d'aquesta relació són l'[[invariant j]], les [[sèries d'Eisenstein]] i la [[funció Dedekind eta]].
Línia 54:
== Propietats ==
Qualsevol nombre ω tal que ''f''(''z'' + ω) = ''f''(''z'') per a tota ''z'' de '''C''' s'anomena ''període'' de ''f''. Si dos períodes ''a'' i ''b'' són tals que qualsevol altre període ω pot ser escrit com ω = ''ma + nb'' amb ''m'' i ''n'' [[enters]], llavors ''a'' i'' b'' se'ls diu [[períodes fonamentals]]. Tota funció el·líptica té un [[parell fonamental de períodes]], encara que aquest parell no és únic, com es descriu més endavant.
Si ''a'' i ''b'' són períodes fonamentals que descriuen un reticle, llavors exactament el mateix reticle pot ser obtingut pels períodes fonamentals ''a' '' i ''b' '' on ''a' '' = ''p'' ''a'' + ''q b'' i ''b' '' = ''r·a'' + ''s·b'' on ''p, q, r i s'' són enters que satisfan ''p s'' - ''q r'' = 1. Dita d'altra forma, la matriu <math>\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}</math> té determinant unitat, pel que pertany al [[grup modular]]. En altres paraules, si ''a'' i ''b'' són períodes fonamentals d'una funció el·líptica, llavors també ho són ''a' '' i ''b' ''.
Si ''a'' i ''b'' són períodes fonamentals, llavors qualsevol [[paral·lelogram]] amb vèrtex ''z, z + a'', ''z + b, z + a + b'' se l'anomena ''paral·lelogram fonamental''. Movent aquest paral·lelogram múltiples d{{'}}''a'' i ''b'' obtenim una còpia del paral·lelogram, i la funció ''f'' es comporta idènticament sobre totes aquestes còpies, a causa d'aquesta periodicitat.
El nombre de pols és qualsevol paral·lelogram és finit (i igualment per a tot paral·lelogram fonamental). Tret que la funció el·líptica sigui constant, tot paral·lelogram fonamental té almenys un pol a conseqüència del [[teorema de Liouville]].
La suma dels ordres dels pols en qualsevol paral·lelogram fonamental s'anomena l'''ordre'' de la funció el·líptica. La suma dels [[residus]] dels pols en qualsevol paral·lelograms fonamental és igual a zero, en particular, cap funció el·líptica pot tenir ordre u.
El nombre de zeros (comptats amb la seva multiplicitat) en qualsevol paral·lelogram fonamental és igual a l'ordre de la funció el·líptica.
La [[derivada]] d'una funció el·líptica és altra funció el·líptica amb els mateixos períodes. El conjunt de totes les funcions el·líptiques amb el mateix període fonamental formen un [[cos (matemàtica)|cos]].<ref name = Gray> J. Gray, ''The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century'', Springer, Heidelberg (2015). {{ISBN|978-3-319-23714-5}}</ref>
| |||