Diferència entre revisions de la pàgina «Integral curvilínia»

m
neteja i estandardització de codi
m (neteja i estandardització de codi)
m (neteja i estandardització de codi)
En [[matemàtiques]], una '''integral curvilínia''' (de vegades anomenada '''integral de camí''') és una [[integral]] on la [[funció (matemàtiques)|funció]] a integrar cal avaluar-la al llarg d'una [[corba]]. En el cas d'una corba tancada s'anomena també '''integral de contorn'''.
 
La funció a integrar pot ser un [[camp escalar]] o un [[camp vectorial]]. El valor de la integral curvilínia és la suma dels valors del camp a tots els punts de la corba, ponderats per alguna funció escalar de la corba (normalment la [[longitud de l'arc]]) o, pel cas d'un camp vectorial, el [[producte escalar]] del vector dels camp a cada punt de la corba per un [[vector diferencial]] de la corba.
Aquesta ponderació (i el fet que la corba sigui a l'espai) distingeix la integral curvilínia de les simples integrals definides en un [[interval (matemàtiques)|interval]]. Moltes fórmules senzilles de la física (la del [[treball físic|treball mecànic per exemple]], <math>W=\vec F\cdot\vec d</math>) tenen expressions contínues anàlogues en termes d'integrals curvilínies (<math>W=\int_C \vec F\cdot d\vec s</math>). La integral curvilínia determina el treball fet sobre un objecte que es mou, per exemple, en un camp elèctric o gravitacional.
 
 
==Integral curvilínia d'un camp vectorial==
 
Per un [[camp vectorial]] '''F''' : ''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>''n''</sup>, la integral al llarg d'una [[corba]] ''C'' ⊂ ''U'', en la direcció de '''r''', es defineix com
 
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).</math>
 
En paraules, la integral de '''F''' sobre ''C'' depèn només dels valors de ''G'' als punts '''r'''(''b'') i '''r'''(''a'') i per tant és independent del camí entre ells.
 
Per aquest motiu, la integral curvilínia d'una camp vectorial que és gradient d'un camp escalar, es diu que és, ''independent del camí''.
 
== Aplicacions ==
Les integrals curvilínies tenen moltes aplicacions a la física. Per exemple, el treball aplicat a una partícula que es desplaça seguint una corba ''C'' en l'interior d'un camp de forces representat pel camp vectorial '''F''' és la integral curvilínia de '''F''' sobre ''C''.
 
2.188.296

modificacions