Integral de Gauß: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot endreça categories |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 1:
La '''integral de Gauß''' és una [[integral]] definida, que fou calculada per primera vegada per [[Carl Friedrich Gauß|Gauß]]. És la base de la [[distribució normal]] (o ''distribució gaussiana''). És un element fonamental de la [[teoria de la probabilitat]].
La integral s'expressa habitualment com
Línia 10:
==El càlcul de la integral==
El càlcul de la integral es pot obtenir a partir del [[teorema del residu]] de l'[[anàlisi complexa]], i també es pot calcular amb un procediment analític.
Sigui '''I''' el valor d'aquesta integral. Aleshores,
Línia 16:
:<math>I^2 = \int_{0}^\infty e^{-x^2}dx\, \int_{0}^\infty e^{-y^2}dy\, = \int_{0}^\infty\int_{0}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dx dy~.</math>
En la darrera d'aquestes igualtats estem emprant el [[teorema de Fubini]]. En la integració emprem dos símbols diferents, ''x'' i ''y'', per a les dues variables d'integració perquè cadascuna d'elles hi juga un paper independent. Aquesta expressió es pot veure també com el producte de dues funcions simètriques respecte a la recta ''y=x''.
Ara passem a [[coordenades polars]] amb els canvi
<math>x = \rho \cos \theta </math>,
<math>y = \rho \sin \theta </math>,
<math>dx dy = \rho d\rho d\theta. </math>.
Obtenim així,
Línia 38:
==La integral de les funcions gaussianes==
La integral de qualsevol funció gaussiana es pot reduir a una integral de Gauss.
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x+b)^2/c^2}\,dx.</math>
| |||