Màxims i mínims: diferència entre les revisions

[[Fitxer:Extrema example.svg|miniatura|Màxims i mínims locals i globals de cos(3π''x'')/''x'', 0.1≤''x''≤1.1]]

 

==Definicions==

Es defineix màxim com

{{definició|Donada una funció real <math>\,f(x)</math>, es diu que té un '''màxim local''' al punt <math>\,x_0</math>, si existeix algun [[Veïnat (matemàtiques)|entorn reduït]] de <math>\,x_0</math>, que simbolitzarem per <math>E^*_{x_0}</math>, tal que <math>\forall x \in E^*_{x_0}: f(x) \leq f(x_0)</math>. }}

 

''Dominis restringits'': Pot haver-hi màxims i mínims de funcions, el [[domini (matemàtiques)|domini]] de les quals no inclou tots els [[nombres reals]]. Una funció real, el domini de la qual és un [[conjunt]] qualsevol pot tenir un màxim i un mínim globals. També hi pot haver màxims i mínims locals, però només si el domini és un conjunt on hi ha definit el concepte d'[[entorn (topologia)|entorn]]. Un entorn juga el paper d'un conjunt de ''x'' tal que

 

Una funció real [[funció contínua|contínua]] sobre un [[conjunt compacte]] sempre té máxim i mínim en el conjunt. Un exemple important és una funció el domini de la qual és un [[intèrval]] real tancat i afitat (vegeu la gràfica de més amunt). El requisit de què hi hagi un entorn del punt, impedeix que els extrems locals es puguin donar en els punts finals o inicials d'un interval. Així no és ''sempre veritat'', pel cas de dominis finits que els extrems globals hagin de ser també extrems locals.

 

==Trobar màxims i mínims==

Els extrems locals es poden trobar gràcies al [[teorema de Fermat (punts estacionaris)|teorema de Fermat]] que en essència diu que si una funció té un extrem local en un punt i és derivable en aquest punt llavors la derivada en aquest punt val zero.

Això dóna una condició necessària però no suficient perquè en un punt una funció tingui un extrem local: que la seva derivada sigui zero, per tant derivar la funció i plantejar l'equació de què la seva derivada sigui igual a zero permet de trobar els punts candidats a ser els extrems.

 

Llavors cal identificar quins d'aquest punts (punts estacionaris) corresponen a màxims, quins corresponen a mínims i quins a [[punt d'inflexió|punts d'inflexió]]. Això es fa amb el [[test de la derivada segona]] i successives.

 

== Exemples ==

[[Fitxer:Extrema.svg|miniatura|''x''³+3''x''²−2''x''+1<br />−4&nbsp;&le;&nbsp;''x''&nbsp;&le;&nbsp;2]]

* La funció ''x''² té un únic mínim global a ''x'' = 0.

== Enllaços externs ==

{{Commonscat}}