Diferència entre revisions de la pàgina «Màxims i mínims»

5 octets eliminats ,  fa 10 mesos
m
neteja i estandardització de codi
m (Bot elimina espais sobrants)
m (neteja i estandardització de codi)
[[Fitxer:Extrema example.svg|miniatura|Màxims i mínims locals i globals de cos(3π''x'')/''x'', 0.1≤''x''≤1.1]]
En [[matemàtiques]], dels '''màxims''' i dels '''mínims''', se'n diu de forma general '''extrems'''. Són el valor ''més gran'' (màxim) o el ''més petit'' (mínim), que pren una [[funció (matemàtiques) |funció]], ja sigui en un entorn del punt (extrem local) o en tot el [[domini (matemàtiques)|domini]] (extrem global).
 
==Definicions==
 
Es defineix màxim com
{{definició|Donada una funció real <math>\,f(x)</math>, es diu que té un '''màxim local''' al punt <math>\,x_0</math>, si existeix algun [[Veïnat (matemàtiques)|entorn reduït]] de <math>\,x_0</math>, que simbolitzarem per <math>E^*_{x_0}</math>, tal que <math>\forall x \in E^*_{x_0}: f(x) \leq f(x_0)</math>. }}
 
''Dominis restringits'': Pot haver-hi màxims i mínims de funcions, el [[domini (matemàtiques)|domini]] de les quals no inclou tots els [[nombres reals]]. Una funció real, el domini de la qual és un [[conjunt]] qualsevol pot tenir un màxim i un mínim globals. També hi pot haver màxims i mínims locals, però només si el domini és un conjunt on hi ha definit el concepte d'[[entorn (topologia)|entorn]]. Un entorn juga el paper d'un conjunt de ''x'' tal que
|''x'' − ''x''<sup>&lowast;</sup>| < &epsilon;.
 
Una funció real [[funció contínua|contínua]] sobre un [[conjunt compacte]] sempre té máxim i mínim en el conjunt. Un exemple important és una funció el domini de la qual és un [[intèrval]] real tancat i afitat (vegeu la gràfica de més amunt). El requisit de què hi hagi un entorn del punt, impedeix que els extrems locals es puguin donar en els punts finals o inicials d'un interval. Així no és ''sempre veritat'', pel cas de dominis finits que els extrems globals hagin de ser també extrems locals.
 
==Trobar màxims i mínims==
 
Els extrems locals es poden trobar gràcies al [[teorema de Fermat (punts estacionaris)|teorema de Fermat]] que en essència diu que si una funció té un extrem local en un punt i és derivable en aquest punt llavors la derivada en aquest punt val zero.
Això dóna una condició necessària però no suficient perquè en un punt una funció tingui un extrem local: que la seva derivada sigui zero, per tant derivar la funció i plantejar l'equació de què la seva derivada sigui igual a zero permet de trobar els punts candidats a ser els extrems.
 
Llavors cal identificar quins d'aquest punts (punts estacionaris) corresponen a màxims, quins corresponen a mínims i quins a [[punt d'inflexió|punts d'inflexió]]. Això es fa amb el [[test de la derivada segona]] i successives.
Per a trobar el màxim o el mínim absolut d'una [[funció definida a trossos]], es troben els màxims i mínims relatius a cada tros i els valors als extrems; llavors es busca quin és el valor més gran de tots per a trobar el màxim absolut (o el més petit per a trobar el mínim absolut).
 
== Exemples ==
 
[[Fitxer:Extrema.svg|miniatura|''x''<sup>3</sup>+3''x''<sup>2</sup>−2''x''+1<br />−4&nbsp;&le;&nbsp;''x''&nbsp;&le;&nbsp;2]]
* La funció ''x''<sup>2</sup> té un únic mínim global a ''x'' = 0.
== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}
* [http://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=606&bodyId=948 Thomas Simpson's work on Maxima and Minima] at [http://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]
 
 
2.116.175

modificacions