Demostració de l'últim teorema de Fermat: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Enllaços a Google Llibres en català |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 28:
Els altres casos són més tècnics; l'ús d'[[Enter algebraic|enters algebraics]] és indispensable. El primer terme és una identitat notable: ''x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> ''és en efecte un múltiple de ''x'' + ''y'' si ''n'' no és potència de 2. Tanmateix, aquesta observació és clarament insuficient per concloure res, més enllà que per un exponent.
[[Fitxer:Pythagorean.svg|miniatura|El [[teorema de Pitàgores]]: ''a''<sup>2</sup>
=== Cas en què ''n'' és igual a dos ===
Línia 69:
=== Cas en què ''n'' és igual a tres ===
El cas ''n'' = 3 és més complex.<ref>{{Dickson1}}, vol. 2, « Impossibility of x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> », [https://books.google.cat/books?id=9LQqAwAAQBAJ&pg=PA548
Per a aquesta demostració, estudia els nombres els cubs dels quals té la forma ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> amb ''p'' i ''q'' primers entre si. Per això, utilitza un mètode original per l'època : descompon ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> = (''p'' + {{Math|i}}√3''q'')(''p'' – {{Math|i}}√3''q'') i busca els nombres de la forma ''a'' + {{Math|i}}''b''√3 el cub dels quals és ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' : en termes moderns, treballa dins de l'[[Anell (matemàtiques)|anell]] ℤ[i√3]. El resultat que obté passa al conjugat ''p'' – {{Math|i}}√3''q''. En dedueix el resultat afirmant que si ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> és un cub ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' i ''p'' – {{Math|i}}√3''q'' igualment, del fet que ''p'' i ''q'' són primers entre ells, llavors- diu ell — ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' i ''p'' – {{Math|i}}√3''q'' també. Es demostra fàcilment pels enters ordinaris que el producte de dos nombres coprimers és un cub, llavors cap d'ells ho és, per exemple pel [[lema d'Euclides]] o més simplement per la [[Teorema fonamental de l'aritmètica|unicitat de la descomposició en factors primers]]. De fet encara es compleix per ℤ[i√3] però per raons diferents. Euler no dón l'argument però, segons desprèn la resta del seu llibre, sembla clar que la seva convicciórau en una analogia amb els enters.<ref>La démonstration d'Euler est décrite et discutée dans {{Harvsp|Edwards|2000|p=40-46}}. </ref> O 2 x 2 = (1 + i √3)(1 - i √3), no hi ha unicitat en la descomposició en irreductibles dins de ℤ[i√3].
[[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] va demostrar (en una publicació pòstuma<ref>(
L'anell ℤ[j] és [[Anell factorial|factorial]] — contràriament al sub-anell ℤ[2j] = ℤ[i√3] — és-a-dir que en aquest anell, la décomposition en irréductibles és única. En efecte, es demostra dins de ℤ[j] l'equivalent del lema d'Euclides, a saber que tot irreductible és un element primer, anomenat nombre primer de Eisenstein. La utilització d'anells d'enters algebraics ben escollits és una de les tècniques més importanta del segle XIX per a la resolució del teorema per certs exponents. Quan no són factorials, s'han d'usar altres tècniques.
Línia 87:
El teorema de Fermat esdevé llavors famós. Tots els esforços es basen en el cas en què n és igual a 5. En aquest cas, cal demostrar que no existeix cap terna (x, y, ''z'') d'enters no nuls i primers entre ells tal que x5 + y5 = z5. Si n'existeix, un i només un dels tres enters és evidentment parell però també, segons el teorema de Sophie Germain, un i només un dels tres és divisibles per 5. S'ha de distingir doncs, entre dos casos, segons si la mateixa x, y o ''z'' sigui divisible per 2 i 5 o no. No obstant això, malgrat la implicació de nombrosos membres de la comunitat matemàtica, van passar més de quinze anys sense cap progrés remarcable. El 1825, [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Lejeune Dirichlet]] esdevé immediatament cèlebre, resolent el primer cas.
El juliol de 1825, [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Lejeune Dirichlet]] sotmet a l'Acadèmia de les ciències una demostració incompleta del cas n=5, que completa el novembre mitjançant un mètode enterament anàleg, en constatar que mentrestant [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], un dels seus dos ponents ha publicat una altra demostració completa, utilitzant les mateixes tècniques<ref name="PV">[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3301m/f309.image.r=Legendre Procès verbal de la séance du 14/11/1825] de l'Académie.</ref><ref>{{Ref-publicació|prénom1=G.|nom1=Lejeune Dirichlet|títol=Mémoire sur l'impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré|sous-titre=lu à l'Académie royale des sciences (Institut de France), le 11 juillet 1825, par l'auteur|revue=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|vol=3|année=1828|p.=354-375|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0003&DMDID=dmdlog41&LOGID=log41&PHYSID=phys367}}</ref><ref name="PV">[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3301m/f309.image.r=Legendre Procès verbal de la séance du 14/11/1825] de l'Académie.</ref><ref>A. M. Legendre,
Les dues demostracions utilitzen tècniques semblants a la del cas n = 3. Es fonamenten també en les propietats de divisibilitat d'un anell d'enters ben escollit. Aquest cop, però, contràriament al cas en què n = 3, l'anell considerat és l'anell d'un dels enters d'un cos quadrpatic real: el sub-cos quadràtic del cinquè cos ciclomàtic ℚ(√5). L'estructura del [[Element invertible|grup de les unitats]] a causa d'aquest fet, més complex. La seva comprenció torna a l'anàlisi d'una altra equació diofàntica anomenada [[Equació de Pell|de Pell-Fermat]], estudiada per [[Leonhard Euler|Euler.]] Els treballs de [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] sobre les [[Fracció contínua|fraccions contínues]] proporcionen les eines necessàries per a l'euclidiació d'aquesta estructura. Aquest anell dels enters de ℚ(√5) permet establir el lema clau en la demostració.
| |||