Producte directe: diferència entre les revisions

 

== Exemples ==

* Si es pensa en <math>\mathbb{R}</math> com el [[conjunt]] de [[nombres reals]], llavors el producte directe <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> és precisament només el [[producte cartesià]], <math>\{ (x,y)| x,y \in \mathbb{R} \}</math>.

 

 

== Producte directe de grups==

En teoria de [[grup (matemàtiques)|grup]]s es pot definir el producte directe de dos

grups ''( G'', *) i ''( H'', ●), denotat per ''G'' × ''H''. Per a [[grup abelià|grups abelians]] que s'escriuen additivament, també es pot anomenar la [[suma directa de dos grups]], denotats per <math>G \oplus H</math>.

 

Per a qualsevol grup (''G'', *), i qualsevol enter ''n'' ≥ 0, l'aplicació múltiple del producte directe dóna el grup de totes les ''n'' -[[n-pla|tuples]] ''G''^''n'' (per ''n'' =0 el grup trivial). Exemples:

* '''R'''^''n'' (amb l'estructura addicional d'[[espai vectorial]] s'anomena [[espai euclidià]], vegeu més avall)

 

== Producte directe de mòduls ==

El producte directe de [[mòdul|mòduls]] (a no confondre amb el [[producte tensorial]]) és molt similar al definit per a grups a dalt, fa servir el [[producte cartesià]] amb l'operació d'addició que component a component, i la multiplicació escalar només distribuint-la sobre tots els components. Començant per '''R''' s'obté l'[[espai euclidià]] '''R'''^''n'', l'exemple prototípic d'un espai vectorial real ''n'' - dimensional. El producte directe de '''R'''^''m'' i '''R'''^''n'' és '''R'''^{''m'' + ''n''}.

 

 

== Producte directe d'espais topològics ==

El producte directe per a una col·lecció d'[[espai topològic|espais topològics]] ''X_i'' per ''i'' a ''I'', algun conjunt d'índex, una vegada més fa ús del producte cartesià

 

 

== Producte directe de relacions binàries ==

En el Producte Cartesià de dos conjunts amb [[relacions binàries]] ''R'' i ''S'', es defineix (''a'', ''b'') T (''c'', ''d'') com ''a'' ''R'' ''c'' i ''b'' ''S'' ''d''. Si ''R'' i ''S'' són les dues relacions [[relació reflexiva|reflexives]], [[relació irreflexiva|irreflexives]], [[relació transitiva|transitives]], [[relació simètrica|simètriques]], o [[relació asimètrica|asimètriques]], ''T'' té la mateixa propietat.<ref>[http://cr.yp.to/2005-261/bender1/Eo.pdf Equivalència i Ordre]</ref> Combinant propietats se segueix que això també s'aplica en un [[preordre]] i en una [[relació d'equivalència]]. Tanmateix, si ''R'' i ''S'' són [[relació total|relacions totals]], ''T'' en general no ho és.

 

== Producte de categories ==

{{Principal|Producte (teoria de categories)}}

 

 

== Producte directe intern i extern ==

{{Vegeu també|Suma directa interna}}

 

 

== Mètrica i norma ==

Una mètrica en un producte cartesià d'espais mètrics, i una norma en un producte directe d'espais vectorials normats, es pot definir de diverses maneres, vegeu per exemple [[Norma (matemàtiques)#p-norma|p-norma]].