Diferència entre revisions de la pàgina «Quàdrica»

23 octets eliminats ,  fa 9 mesos
m
neteja i estandardització de codi
m (neteja i estandardització de codi)
{{FR|data=abril de 2020}}
En [[matemàtiques]], una '''quàdrica''' o '''superfície quàdrica''' és una hipersuperfície definida en un [[espai vectorial]] n-dimensional, pels punts que anul·len un [[polinomi]] quadràtic. Si les [[coordenada|coordenades]] d'aquest espai són<math>\left\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}\,</math>, l'equació de qualsevol quàdrica en aquest espai serà: <math>\sum_{i,j=1}^{n}P_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{k=1}^{n}Q_{k}x_{k}+R=0\,</math>, en què no tots els valors de<math>P_{(i,j)}\,</math> són iguals a <math>0\,</math>.
En general, els coeficients d'aquesta equació seran valors de qualsevol [[Cos (matemàtiques)|cos]], sobre el qual s'ha definit l'[[espai vectorial]]. Malgrat això, a partir d'ara, només considerarem quàdriques sobre el cos <math>\mathbb{R}\,</math>.
 
==Còniques==
 
En el cas concret que <math>n=2\,</math>, les quàdriques resultants prenen el nom de [[cònica|''còniques'']], i l'anterior equació pren la forma: <math>(Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,</math>. El nom de [[cònica|''còniques'']] prové del fet que es pot demostrar que qualsevol cònica és la intersecció d'un cert con per un determinat pla. L'equació anterior es pot escriure de la forma matricial següent:
 
 
{|
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\,</math>
|[[el·lipse]] imaginària
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math>
|[[el·lipse]] real
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,</math>
|dues [[recta|rectes]] imaginàries no paral·leles
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math>
|[[hipèrbola]]
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,</math>
|dues [[recta|rectes]] reals no paral·leles
|-
|<math>y=mx^{2}\,</math>
|[[paràbola]]
|-
|<math>a^{2}x^{2}=-1\,</math>
|dues [[recta|rectes]] imaginàries paral·leles
|-
|<math>a^{2}x^{2}=1\,</math>
|dues [[recta|rectes]] reals paral·leles
|-
|<math>mx^{2}=0\,</math>
|dues [[recta|rectes]] coincidents
|-
|<math>x=0\,</math>
|una [[recta]] real
|}
 
==Quàdriques==
 
Més amunt, hi ha la definició general de quàdrica. Però, normalment, s'entén per quàdrica el cas concret en què <math>n=3\,</math>. En aquest cas, la matriu <math>M\,</math>, serà: de la forma:
Si
 
{|
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1\,</math>
|[[el·lipsoide]] imaginari
|[[Fitxer:Quadric Ellipsoid.jpg|150px|El·lipsoide]]
|[[con]] imaginari
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^2}{c^2}=1\,</math>
|[[Hiperboloide|hiperboloide d'un full]]
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^2}{c^2}=1\,</math>
|[[Hiperboloide|hiperboloide de dos fulls]]
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^2}{c^2}=0\,</math>
|[[con]] real
|-
|[[Fitxer:Quadric Elliptic Paraboloid.jpg|150px|Paraboloide el·líptic]]
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\,</math>
|superfície [[Cilindre|cilíndrica]] imaginària
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math>
|superfície [[Cilindre|cilíndrica]] el·líptica
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,</math>
|dos [[pla|plans]] imaginaris no paral·lels
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+z=0\,</math>
|[[paraboloide]] hiperbòlic
|[[Fitxer:Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg|150px| Paraboloide hiperbòlic]]
|superfície [[Cilindre|cilíndrica]] hiperbòlica
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,</math>
|dos [[pla|plans]] reals no paral·lels
|-
|<math>x^{2}+mz=0\,</math>
|superfície [[Cilindre|cilíndrica]] parabòlica
|-
2.067.621

modificacions