Sistema de coordenades cartesianes: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m →Història: format Etiquetes: Edita des de mòbil Edició web per a mòbils Advanced mobile edit |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 1:
[[Fitxer:Cartesian-coordinate-system.svg|miniatura|Fig. 1 – Sistema de coordenades cartesianes. S'han assenyalat quatre punts: (2,3) en verd, (-3,1) en vermell, (-1.5,-2.5) en blau i (0,0), l'origen, en morat.]]
[[Fitxer:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg|miniatura|Fig. 2 – Sistema de coordenades cartesianes amb la circumferència de radi 2 centrada a l'origen dibuixada en vermell. L'equació del cercle és x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 4.]]
En [[matemàtiques]], el '''sistema de coordenades cartesianes''' (anomenat també '''sistema de coordenades rectangulars''') es fa servir per a determinar unívocament cada [[punt (geometria)|punt]] del [[pla]] a través de dos [[nombres reals]] anomenats habitualment la ''coordenada x'' o '''abscissa''' i la ''coordenada y'' o '''ordenada''' del punt.
Per a definir les coordenades d'un punt qualsevol, cal especificar prèviament diversos elements. En primer lloc es fixa un punt del pla, dit '''origen de coordenades'''; tot seguit es prenen dues [[recta|rectes]] [[perpendicular]]s (l'eix x o '''eix d'abscisses''', i l'eix y o '''eix d'ordenades''') que es creuen a l'origen, i a cada una de les quals s'assigna una direcció considerada positiva o creixent; finalment cal especificar una [[unitat de longitud]], que es marca sobre els dos eixos (vegeu figura 1). Els [[sistemes de coordenades]] cartesianes s'estenen de manera anàloga a l'[[espai]] de tres dimensions i a espais de dimensions superiors.
Fent servir els sistemes de coordenades cartesianes, les formes [[Geometria euclidiana|geomètriques]] (com ara les [[corba|corbes]]) es poden descriure amb [[equació|equacions]] [[àlgebra|algebraiques]], les equacions que són satisfetes pels punts que pertanyen a la forma geomètrica. Per exemple, el cercle de radi 2 es pot descriure amb l'equació x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 4 (vegeu figura 2).
Línia 11:
L'adjectiu ''cartesianes'' fa referència al [[matemàtic]] i [[filòsof]] francès [[René Descartes]] (en llatí ''Renatus Cartesius''), qui, entre altres coses, va treballar per a fusionar l'[[àlgebra]] i la [[geometria euclidiana]]. Aquest treball va influir en el desenvolupament de la [[geometria analítica]], el [[càlcul infinitesimal]] i la [[cartografia]].''
La idea d'aquest sistema va ser desenvolupada independentment el [[1637]] en dos escrits per Descartes i per [[Pierre de Fermat]], tot i que Fermat no va publicar el descobriment.<ref>{{ref-enciclopèdia|títol=analytic geometry|enciclopèdia=Encyclopædia Britannica|any=2008|edició=Encyclopædia Britannica Online|consulta=02-08-2008}}</ref>
A la seva obra ''[[La Geometria]]'', introdueix el concepte de coordenades cartesianes.<ref>{{ref-llibre|autor=Descartes, R|títol=La Géométrie|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=00570001&view=50&frames=0&seq=11|pàgines=Livre Primeire: Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites (Book one: Problems whose construction requires only circles and straight lines)}} {{fr}}</ref>
==Sistema cartesià==
=== Sistema de coordenades de dues dimensions ===
[[Fitxer:Cartesian coordinates 2D.svg|miniatura|Fig. 3 – Els quatre quadrants d'un sistema de coordenades cartesià. Les fletxes als eixos indiquen que s'estenen indefinidament en les seves respectives direccions (és a dir infinitament).]]
Linha 52 ⟶ 51:
|}
=== Sistema de coordenades tridimensional ===
[[Fitxer:Cartesian coordinates 3D.svg|miniatura|Fig. 4 – Sistema de coordenades cartesianes de tres dimensions amb l'eix y ''allunyant-se'' de l'observador.]]
Linha 68 ⟶ 66:
=== Coordenades cartesianes en dimensió ''n'' ===
Les seccions precedents construeixen les coordenades cartesianes a base d'establir una relació entre parelles o triplets de nombre reals i punts del pla o de l'espai. Aquesta relació es generalitza a qualsevol [[espai vectorial]] o [[espai afí|afí]] de dimensió finita sobre un cos '''K'''.
Linha 75 ⟶ 72:
:<math>\vec{v} = x_1\vec{e_1}+ x_2 \vec{e_2}+\dots +x_n\vec{e_n} \,</math> .
D'aquesta ''n''-upla se'n diu coordenades cartesianes del vector <math>\vec{v}</math> en la base <math>(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots,\vec{e_n}</math>). La correspondència entre els vectors i les ''n''-uples permet de construir un [[isomorfisme]] d'espais vectorials entre '''V''' i '''K'''<sup>''n''</sup>.
Per treballar amb [[sistemes de coordenades]] de punts, n'hi ha prou d'afegir a la base precedent un punt ''O'' anomenat origen. Les coordenades d'un punt qualsevol ''M'' seran les del vector <math>\overrightarrow{OM}</math>.
Linha 93 ⟶ 90:
== Canvi del sistema de coordenades ==
Fer un canvi de sistema de coordenades és canviar els valors de les coordenades que representen un punt en un determinat sistema de coordenades per tal que expressin el mateix punt en un altre sistema de coordenades. O en general canviar les equacions que representen una determinada figura geomètrica en un determinat sistema de coordenades per tal que representin la mateixa figura geomètrica en un altre sistema de coordenades.
Vegeu la [[Llista de transformacions canòniques de coordenades]] per canvis entre diferents tipus de [[sistemes de coordenades]].
En el cas de dos sistemes de coordenades cartesianes, tant en el cas pla com tridimensional, es poden considerar dos canvis: Translació (de l'origen) i Rotació (entorn un eix). En el cas de sistemes tridimensionals també es pot plantejar la simetria especular respecte d'un pla.
Linha 161 ⟶ 158:
== Orientació i quiralitat ==
=== En dues dimensions ===
[[Fitxer:Rechte-hand-regel.jpg|miniatura|La [[regla de la mà dreta]].]]
En fixar o triar l'eix ''x'' queda determinat l'eix ''y'' tret de la seva direcció. És a dir, l'eix ''y'' cal que sigui [[perpendicular]] a l'eix ''x'' al punt origen 0 sobre l'eix ''x''. Però encara manca de triar quina de les dues semirectes de la perpendicular es designa com a positiva i quina com a negativa. Cada una d'aquestes dues possibles tries determina una orientació diferent del pla cartesià.
La forma usual d'orientar els eixos, amb la part positiva de l'eix ''x'' apuntant cap a la dreta i la part positiva de l'eix ''y'' apuntant cap amunt (i sent l'eix ''x'' el "primer" i l'eix ''y'' el "segon" ) es considera l'orientació ''positiva'' o ''estàndard'', anomenada també orientació ''a dretes''.
Independentment del tipus d'orientació triada pels eixos, les rotacions del sistema de coordenades preserven l'orientació. Intercanviant el paper dels eixos ''x'' i ''y'' inverteix l'orientació.
Linha 173 ⟶ 169:
[[Fitxer:Cartesian coordinate system handedness.svg|miniatura|esquerra|Fig. 7 – L'orientació a esquerres es presenta a l'esquerra i l'orientació a dretes a la dreta.]]
[[Fitxer:Right hand cartesian.svg|miniatura|Fig. 8 – El sistema de coordenades cartesianes a dretes indicant els plans de coordenades.]]
Un cop s'han especificat els eixos ''x'' i ''y'', queda determinada la [[recta]] sobre la que ha de quedar l'eix ''z'', però hi ha dues possibles direccions. Dels dos possibles [[sistemes de coordenades]] que en resulten se'n diu 'a dretes' i 'a esquerres'. De l'orientació estàndard, on el pla ''xy'' és horitzontal i l'eix ''z'' assenyala cap amunt (i els eixos ''x'' e ''y'' formen un sistema de coordenades bidimensional amb orientació positiva en el pla ''xy'' si s'observa des de ''damunt'' del pla ''xy'') se'n diu '''a dretes''' o '''positiu'''.
El nom prové de la [[regla de la mà dreta]]. Si el [[dit índex]] de la mà dreta senyala cap endavant, el [[dit mitjà]] es doblega cap a dins formant un angle recte amb l'índex i el [[dit polze]] forma un angle recte respecte a tots dos, els dits indiquen les direccions relatives entre els eixos ''x'', ''y'', i ''z'' en un sistema ''a dretes''. El polze indica l'eix ''x'', l'índex indica l'eix ''y' i el dit mitjà indica l'eix ''z''. Per altra banda, si es fa el mateix amb la mà esquerra, en resulta un sistema a esquerres.
La Figura 7 és un intent de presentar un sistema de coordenades a dretes i un a esquerres. Com que els objectes tridimensionals es representen en una pantalla de dues dimensions, en resulta una distorsió i una ambigüitat. L'eix que apunta cap a baix (i cap a la dreta) també significa que apunta ''cap a'' l'observador, mentre que l'eix "del mig" significa que apunta ''allunyant-se'' de l'observador. El cercle vermell és ''paral·lel'' al pla horitzonta ''xy'' i indica rotació des de l'eix ''x'' cap a l'eix ''y'' (en tots dos casos). Per tant la fletxa vermella passa ''per davant'' de l'eix ''z''.
La Figura 8 és un altre intent de presentar un sistema de coordenades a dretes. Altre cop, hi ha una ambigüitat causada pel fet de projectar el sistema de coordenades tridimensional en el pla. Molts observadors veuen la Figura 8 com si "basculés cap a dins i cap a fora" entre un cub [[convex]] i una "cantonada" [[còncau|còncava]]. Això correspon a les dues orientacions possibles del sistema de coordenades. Si es veu la figura com a convexa, es té un sistema de coordenades a esquerres. Per tant la forma "correcta" de veure la Figura 8 és imaginant l'eix ''x'' apuntant ''cap a'' l'observador i per tant veient una cantonada còncava.
Linha 188 ⟶ 184:
== Notes finals ==
En [[informàtica gràfica]] els sistema de coordenades cartesianes és el fonament de a manipulació algebraica de les formes geomètriques. Des dels temps de Descartes s'han desenvolupat molts altres sistemes de coordenades. Un conjunt de sistemes comú fa servir les [[coordenades polars]]; els astrònoms i els físics sovint fan servir les [[coordenades esfèriques]] un tipus tridimensional de [[coordenades polars]].
== Vegeu també ==
Linha 201 ⟶ 197:
* {{ref-llibre | autor = Moon P, Spencer DE | data = 1988 | capítol = Rectangular Coordinates (x, y, z) | títol = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edició = corrected 2nd ed., 3rd print ed. | editorial = Springer-Verlag | lloc = New York | pàgines = pp. 9–11 (Table 1.01) | isbn = 978-0387184302}}
* {{ref-llibre | autor = Henry Margenau, Murphy GM | any = 1956 | títol = The Mathematics of Physics and Chemistry | editorial = D. van Nostrand | lloc = New York |pàgines = p. 177 }}
* {{ref-llibre | autor = Sauer R, Szabó I | data = 1967 | títol = Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs | editorial = Springer Verlag | lloc = New York | pàgines = p. 94}}
* {{ref-llibre | autor = Korn GA, Korn TM |data = 1961 | títol = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | editorial = McGraw-Hill | lloc = New York | id = ASIN B0000CKZX7 | pàgines = pp. 55–79}}
Linha 209 ⟶ 205:
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/Coordinates.shtml Sistema de coordenades cartesianes]
* [http://www.printfreegraphpaper.com/ Coordenades cartesianes per imprimir]
* {{planetmath reference|id=6016|title=Cartesian coordinates}}
* [http://mathworld.wolfram.com/CartesianCoordinates.html Descripció de les coordenades cartesianes a MathWorld]
| |||