Teorema de Boucherot: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 1:
El ''' teorema de Boucherot ''', és la base d'un mètode ideat per [[Paul Boucherot]] que permet la resolució del càlcul total de [[Potència elèctrica|potències]] en circuits de [[corrent altern]]. D'acord amb aquest teorema, les [[Potència elèctrica # Potència activa|potències activa]] i [[Potència elèctrica # Potència reactiva|reactiva]] totals en un [[Circuit elèctric # Circuits de corrent altern|circuit]], vénen donades per la suma de les potències activa i reactiva, respectivament, de cada una de les seves càrregues. De forma analítica:
: <math>
P_T = \sum_{k = 1}^n P_k
</Math>
: <math>
Q_T = \sum_{k = 1}^n Q_k
</Math>
Seguidament es demostraran les dues igualtats per a un receptor sèrie i per a un altre paral·lel.
== Receptor en sèrie ==
[[Fitxer:ReceptorSerie.png|miniatura|''' Figura 1 ''': Receptor sèrie, a, i diagrama de fases, b]]
Sigui el circuit sèrie de la figura 1a. Aplicant la [[llei d'Ohm]]
<!-- \, \! és per forçar que la fórmula es mostri com PNG en comptes de com HTML. Si us plau no ho esborreu. -->
: <math>
\vec{V}= \vec{I}(\vec{Z1}+\vec{Z2}+\vec{Z3}) = \, \!
</math>
: <math>
= \vec{I}(R1+X1j+R2+X2j+R3+X3j) \, \!
</math>
Prenent la intensitat en l'origen de fases (figura 1b),
: <math>
\vec{I}= I _ \ \underline{/0}= I+0j = I \, \!
</math>
i substituint
: <math>
\vec{V}= IR1+R2+ANAR3+(IX1+IX2+IX3) j \, \!
</math>
D'altra banda, el valor de <math> \vec{V}</math> es pot expressar com (vegeu la figura 1b):
: <math>
\vec{V}= V \cos \phi+(V \sin \phi) j \, \!
</math>
Comparant les dues igualtats
: <math>
V \cos \phi = IR1+R2+ANAR3 \, \!
</math>
: <math>
V \sin \phi = IX1+IX2+IX3 \, \!
</math>
Finalment si multipliquem ambdues expressions per I, es dedueix
: <math>
P_T = P1+P2+P3 \, \!
</math>
: <math>
Q_T = Q1+Q2+Q3 \, \!
</math>
== Receptor en paral·lel ==
[[Fitxer:ReceptorParalelo.png|miniatura|''' Figura 2 ''': Receptor paral·lel, a, i diagrama de fases, b]]
Sigui el circuit paral·lel i el seu corresponent diagrama de fases, figures 2a i 2b respectivament. Els [[Potència elèctrica# Components de la intensitat|components actiu i directiu del corrent]] total, <math> I_a </math> i <math> I_r </math>, vénen donats com la suma dels components parcials de cadascun dels corrents que circulen per cada branca:
: <math>
I_a = I_{a1}+I_{a2}+I_{a3}\, \!
</Math>
: <math>
I_r = I_{r1}+I_{r2}+I_{r3}\, \!
</Math>
Substituint pels seus valors:
: <math>
I \cos \phi \ = I_{1}\cos \phi \_1+I_{2}\cos \phi \_2+I_{3}\cos \phi \_3 \, \!
</Math>
: <math>
I \sin \phi \ = I_{1}\sin \phi \_1+I_{2}\sin \phi \_2+I_{3}\sin \phi \_3 \, \!
</Math>
I si aquestes expressions es multipliquen per V, s'obté
: <math>
P_T = P1+P2+P3 \, \!
</Math>
: <math>
Q_T = Q1+Q2+Q3 \, \!
</Math>
Que és el mateix resultat que per a un receptor sèrie. En ambdós casos, generalitzant
: <math>
P_T = \sum_{k = 1}^n P_k \, \!
</Math>
: <math>
Q_T = \sum_{k = 1}^n Q_k \, \!
</Math>
que és el que es desitjava demostrar.
== Potència aparent total ==
[[Fitxer:TriangulosPotencia.png|miniatura|''' Figura 3 ''': Triangle de potències d'una instal·lació amb tres receptors, l'1 i el 2 inductius i el 3 capacitiu.]]
Els dos punts anteriors no impliquen que la [[Potència elèctrica # Potència aparent|potència aparent]] total d'un sistema s'obtingui com a suma de les potències aparents parcials:
: <math>
S_T \; \ne \sum_{k = 1}^n S_k \, \!
</Math>
Gràficament, per efectuar el balanç de potències d'una instal·lació, cal obtenir el triangle total de potències com a suma dels triangles de potència parcials de cada receptor. Si per exemple tinguéssim tres receptors, dos inductius i un capacitiu, el seu triangle de potències seria similar al mostrat en la figura 3, on es dedueix que
: <math>
S_T = \sqrt{P_T^2+Q_T^2}\, \!
</Math>
== Nota ==
| |||