Teorema del valor mitjà: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
|||
Línia 1:
[[Fitxer:Mvt2.svg|miniatura|Per a qualsevol funció contínua en [''a'', ''b''] i derivable en (''a'', ''b'') hi ha algun ''c'' al interval (''a'', ''b'') tal que la '''secant''' que uneix els punts extrems de l'interval [''a'', ''b''] és paral·lela a la'''tangent''' al punt ''c''.]]
Informalment es pot dir que en [[Càlcul infinitesimal|càlcul]], el '''teorema del valor mitjà''' estableix, que donat un bocí d'una corba [[derivada|derivable]], hi ha un punt dins d'aquest bocí en el qual la tangent a la corba és paral·lela a la recta que uneix el primer punt amb l'últim.
O dit d'una altra manera, hi ha un punt en què el [[pendent (matemàtiques)|pendent]] (o derivada) de la corba és igual al pendent mitjà (o derivada mitjana) de tota la corba. Aquest teorema es fa servir per a demostrar teoremes que obtenen conclusions globals de funcions a partir d'hipòtesis locals referents als valors que prenen les seves derivades en punts de l'interval.
Línia 11:
El teorema del valor mitjà és una generalització del [[teorema de Rolle]], el qual suposa que ''f''(''a'') = ''f''(''b''), de forma que el costat dret de la igualtat és zero.
El teorema del valor mitjà continua sent vàlid establint-lo d'una manera lleugerament més general. Només cal suposar que ''f'' : [''a'', ''b''] → '''R''' és una [[funció contínua]] a [''a'', ''b''], i que per a cada ''x'' de (''a'', ''b'') el [[límit]]
:<math>\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
existeix com a nombre finit o és igual a <math>\pm\infty</math>.
== Demostració ==
Es construeix la funció:
:<math>g(x)=f(x)-\Biggl(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\Biggr)</math>
| |||