Teorema dels quatre quadrats: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m Bot elimina espais sobrants
m neteja i estandardització de codi
Línia 4:
Per exemple:
 
<math>3 = 1^2+ 1^2 +1^2+ 0^2</math>
 
<math>31 = 5 ^2+ 2^ 2+ 1 ^2 +1 ^2</math>
Línia 13:
 
Més formalment, per a cada enter positiu '' n '', existeixen nombres enters no negatius '' a '', '' b '', '' c '', '' d '' tals que:
 
: '' n '' = '' a '' <sup> 2 </sup>+'' b '' <sup> 2 </sup>+'' c '' <sup> 2 </sup>+'' d '' <sup> 2 </sup>
 
[[Adrien-Marie Legendre]] va millorar el teorema el [[1798]] demostrant que un enter positiu es pot expressar com la suma de tres quadrats si i només si no és de la forma 4 <sup> '' k '' </sup> (8 '' m ''+7). La seva prova estava incompleta, deixant un buit que després va omplir [[Carl Friedrich Gauss]].
El [[1834]], [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] va trobar la fórmula exacta per al nombre total de modes en què un nombre enter positiu '' n '' donat, es pot representar com la suma de quatre quadrats.
 
El [[1834]], [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] va trobar la fórmula exacta per al nombre total de modes en què un nombre enter positiu '' n '' donat, es pot representar com la suma de quatre quadrats.
Aquest nombre és vuit vegades la suma dels [[divisor|divisors]] de '' n '' si '' n '' és senar i 24 vegades la suma dels [[divisor]]s [[imparell]]s de '' n '' si '' n '' és [[parell]].
 
Aquest nombre és vuit vegades la suma dels [[divisor|divisors]] de '' n '' si '' n '' és senar i 24 vegades la suma dels [[divisor]]s [[imparell]]s de '' n '' si '' n '' és [[parell]].
 
El teorema dels quatre quadrats de Lagrange és un cas especial del [[teorema del nombre poligonal de Fermat]] i del [[problema de Waring]].
 
Línia 31:
 
El cas <math>a=b=c=d=1</math> es contesta pel teorema dels quatre quadrats.
 
[[Srinivāsa Rāmānujan|Rāmānujan]] va donar la solució general, demostrant que si assumim, sense pèrdua de generalitat, que <math>a \leq b \leq c \leq d</math>, llavors hi ha exactament 54 opcions possibles per ''a'', ''b'', ''c'', i ''d'', tal que l'equació és soluble en nombres enters <math>x_1, x_2, x_3, x_4</math> per a tota ''n''. De fet, Ramanujan va catalogar una 55a possibilitat <math>a=1</math>, <math>b=2</math>, <math>c=5</math>, <math>d=5</math>, però en aquest cas l'equació no és resoluble si <math>n=15</math>.