Teoria de grups: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Plantilla |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 23:
== Història ==
La teoria de grups té tres fonts històriques principals: la [[teoria de nombres]], la teoria d'[[equacions algebraiques]], i la [[geometria]]. La branca de teoria de nombres l'encetava [[Leonhard Euler]], i es desenvolupava en el treball de [[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] sobre [[aritmètica modular]] i grups multiplicatius i additius relacionats amb [[cos quadràtic|cossos quadràtics]]. Els primers resultats sobre [[Grup de permutacions|permutacions]] els obtenien [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]], [[Paolo Ruffini|Ruffini]], i [[Niels Henrik Abel|Abel]] en el seu treball de cerca de solucions generals d'equacions polinòmiques de grau superior. [[Évariste Galois]] encunyava el terme "grup" i establia una connexió, ara coneguda com a [[teoria de Galois]], entre la naixent teoria de grups i la [[Teoria de cossos]]. En geometria, els grups inicialment es varen considerar importants en [[geometria projectiva]] i, més tard, en [[geometria no euclidiana]]. El [[programa d'Erlangen]] de [[Felix Klein]] feia la famosa proclama que la teoria de grup és el principi organitzatiu de la geometria.
[[Évariste Galois|Galois]], durant els anys 1830, va ser el primer a fer servir grups per determinar la resolubilitat d'[[polinomi|equacions polinòmiques]]. [[Arthur Cayley]] i [[Augustin Louis Cauchy]] duien aquestes investigacions més lluny creant la teoria de [[grup de permutació|grups de permutacions]]. La segona font històrica per a grups prové de situacions [[geometria|geomètriques]]. En un intent d'arribar a lligar geometries possibles (com la [[geometria euclidiana]], la [[geometria hiperbòlica]] o la [[geometria projectiva]]) fent servir la teoria de grups, [[Felix Klein]] iniciava el [[programa d'Erlangen]]. [[Sophus Lie]], el [[1884]], començava a fer servir grups (ara anomenats [[Grup de Lie|Grups de Lie]] relacionats amb problemes [[anàlisi matemàtica|analítics]]. En tercer lloc, els grups eren, (primer implícitament i més tard explícitament) utilitzats en la [[teoria de nombres algebraics]].
El diferents abast d'aquestes primeres fonts ocasionava idees diferents de grups. La teoria de grups es va comenar a unificar al voltant de 1880. Des de llavors, l'impacte de la teoria de grups ha estat sempre creixent, causant al naixement d'[[àlgebra abstracta]] a començaments del {{segle|XX}}, la [[teoria de la representació]], i molts més camps influents. La [[classificació dels grups simples finits]] és un cos vast de treball des de meitats del {{segle|XX}}, dedicat a la classificació de tots els [[grup simple|grups simples]] [[conjunt finit|finits]].
Altres importants matemàtics en aquest camp inclouen a [[Arthur Cayley|Cayley]], [[Emil Artin]], [[Emmy Noether]], [[Peter Ludwig Mejdell Sylow|Sylow]] entre molts altres. Va ser [[Walter von Dick]] qui en [[1882]], va donar la moderna definició de grup.
Linha 34 ⟶ 33:
== Principals classes de grups ==
{{Principal|Grup (matemàtiques)}}
La gamma de grups que s'estudien s'ha expandit gradualment des dels [[Grup (matemàtiques)|grups]] de [[permutació|permutacions]] finites i exemples especials de [[grup de matrius]] fins a grups abstractes que es poden especificar a través d'una [[presentació d'un grup|presentació]] per generadors i relacions.
=== Grups de permutacions ===
Linha 46 ⟶ 45:
=== Grups de transformacions ===
Els grups de permutacions i els grups de matrius són casos especials de [[grup de transformació|grups de transformació]]: grups que actuen sobre un cert espai ''X'' conservant la seva estructura inherent. En el cas de grups de permutació ''X'' és un conjunt; pels grups de matrius ''X'' és un [[espai vectorial]]. El concepte d'un grup de transformació està estretament relacionat amb el concepte de [[grup de simetria]]: els grups de transformació freqüentment consisteixen en ''totes'' les transformacions que conserven una certa estructura.
La teoria de grups de transformació forma un pont que connecta la teoria de grups amb la [[geometria diferencial]]. Una llarga línia de recerca, que s'origina amb [[Sophus Lie|Lie]] i [[Felix Klein|Klein]], considera accions de grup sobre [[varietat (matemàtiques)|varietats]] per [[homeomorfisme]]s o [[difeomorfisme]]s. Els grups mateixos poden ser [[grup discret|discrets]] o [[grup continu|continus]].
Linha 54 ⟶ 53:
: <math> G = \langle S|R\rangle. </math>
Una font significativa de grups abstractes ve donada per la construcció d'un ''grup factorial'', o [[grup quocient]], ''G''/''H'', d'un grup ''G'' per un [[subgrup normal]] ''H''. Els [[Grups de classe]] de [[cos de nombres algebraic|cossos de nombres algebraics]] varen estar entre els primers exemples de grups quocients, de màxim interès en [[teoria de nombres]]. Si un grup ''G'' és un grup de permutacions en un conjunt ''X'', el grup quocient ''G''/''H'' ja no actua sobre ''X''; però la idea d'un grup abstracte permet a no preocupar-se d'aquesta discrepància.
El canvi de perspectiva des de grups concrets a grups abstractes fa que sigui natural considerar propietats de grups que són independents d'una realització particular, o en llenguatge modern, invariants sota [[isomorfisme]]s, així com les classes de grups amb una propietat donada: [[grup finit|grups finits]], [[grup periòdic|grups periòdics]], [[grup simple|grups simples]], [[grup resoluble|grups resolubles]], etcètera. Més que explorar les propietats d'un grup individual, es procura establir resultats que s'apliquen a una classe sencera de grups. El paradigma va ser de gran importància per al desenvolupament de les matemàtiques: presagiava la creació de l'[[àlgebra abstracta]] en els treballs de [[David Hilbert|Hilbert]], [[Emil Artin]], [[Emmy Noether]], i matemàtics de la seva escola.
| |||