Filosofia de les matemàtiques: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Preposició correcta |
m Plantilles i correccions de format |
||
Línia 157:
Però, per a Hume, les idees són sempre particulars. La meva idea de triangle o de cercle o de conjunt és sempre la idea d'aquest triangle, d'aquest cercle o d'aquest conjunt. La demostració matemàtica procedeix realment utilitzant una figura particular i, per tant, una idea particular, i no una idea general. Només mitjançant la generalització s'arriba a la validesa universal de la demostració realitzada. I aquesta generalització, segons Hume, s'aconsegueix mitjançant el llenguatge, mitjançant els termes generals. És a dir, el rellevant aquí és que, per a Hume, en operar geomètricament, no fem servir termes generals, conceptes o idees generals, sinó particulars. I és que Hume té una concepció visual de les idees, una idea és com un espectacle davant un espectador.
Inmanuel [[Kant]] (1724-1804) que, però, no era nominalista, es mostrarà d'acord amb Hume: els raonaments geomètrics (i els aritmètics, en la mesura que, fins al {{segle
== Necessitat en matemàtiques. Proposicions analítiques i sintètiques ==
Línia 244:
== La filosofia de les matemàtiques després de Kant ==
Com assenyala Dummett (1998, pàg. 128 i ss.), malgrat la seva importància, al {{segle
Segons Dummett, el primer a emprendre la tasca d'alliberar l'anàlisi de la intuïció va ser el matemàtic i filòsof txec [[Bernard Bolzano]] (1781-1848). Com a filòsof, va ser una excepció per la poca influència que Kant va exercir sobre ell. Com a matemàtic, estava determinat a eliminar la intuïció de l'anàlisi, i a provar dels axiomes tot el que pogués ser provat, no importava com d'obvi pogués semblar quan es pensava en termes geomètrics. Una raó per a això va ser que el que sembla obvi intuïtivament pot no ser vertader. Si pensem en una funció contínua en un interval (incloent-hi els punts extrems) representada per una corba en un paper, sembla intuïtivament obvi que, en l'interval donat, qualsevol corba ha de tenir un pendent, excepte en un nom finit de punts; quan, per exemple, la corba està feta de dos segments de línia recta en angle diferent, no hi ha pendent en el punt en què es troben les dues línies. No obstant això, Bolzano va obtenir el primer exemple (encara que no ho va publicar) d'una funció contínua en un interval, però que no era diferenciable en cap punt de l'interval. Expressat geomètricament, això estaria representat per una corba contínua que no tingués pendent en cap lloc; naturalment, no es pot dibuixar, excepte una successió d'aproximacions a aquesta. No obstant això, fins i tot quan el que sembla obvi és de fet vertader, en opinió de Bolzano, continua sent necessari deduir i fer-ho sense invocar idees alienes d'espai o temps: les matemàtiques estan interessades no sols a establir veritats sinó a determinar quines veritats reposen sobre d'altres. Així, és obvi "per a la intuïció" que, si una corba contínua al principi d'un interval està sota l'eix X i al final de l'interval sobre l'eix X, ha de creuar l'eix X en algun punt de l'interval. En termes purament aritmètics, això es converteix en el teorema del valor intermedi, amb la conseqüència que si una funció contínua té un valor negatiu al principi de l'interval i un valor positiu al final de l'interval, ha de tenir el valor 0 en algun lloc de l'interval. El 1817, Bolzano publicà un intent de prova d'aquest teorema, el qual, encara que no sense errors, va contribuir notablement al programa d'alliberar l'anàlisi de la seva dependència de la intuïció espacial.
|