Funció exhaustiva: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi
m estandarditzant codi encapçalaments i llistes
Línia 11:
 
== Exemples ==
* Per a qualsevol conjunt ''X'', la [[funció identitat]] id<sub>''X''</sub> de ''X'' és exhaustiva.
* La funció ''f'':&nbsp;ℝ&nbsp;→&nbsp;ℝ definida per ''f''(''x'') = 2''x'' + 1 és exhaustiva, perquè per a cada nombre real ''y'' es té ''f''(''x'') = ''y'' on ''x'' és (''y'' - 1)/2.
* La funció [[logaritme natural]] ln:&nbsp;<nowiki>(0,+∞)</nowiki>&nbsp;→&nbsp;ℝ és exhaustiva.
* La funció ''f'':&nbsp;ℤ&nbsp;→&nbsp;{0,1,2,3} definida per ''f''(''x'') = ''x'' [[Aritmètica modular|mòdul]] 4 és exhaustiva.
* En general, sigui ~ una [[relació d'equivalència]] dins el conjunt ''A'', és exhaustiva la projecció canònica de pas al [[conjunt quocient|quocient]] ''&pi;''&nbsp;:&nbsp;''A''&nbsp;→&nbsp;''A''/~ que fa ''&pi;''(''a'') = [''a'']<sub>~</sub> (la seva [[classe d'equivalència]]).
* La funció ''g'':&nbsp;ℝ&nbsp;→&nbsp;ℝ definida per ''g''(''x'')&nbsp;= ''x''² ''no'' és exhaustiva, perquè (per exemple) no hi ha cap nombre real ''x'' tal que ''x''²&nbsp;=&nbsp;−1. Ara bé, si el codomini es defineix com <nowiki>[0,+∞)</nowiki>, llavors ''g'' és exhaustiva.
 
== Obtenció de funcions exhaustives ==
En general, sigui ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' una funció no necessàriament exhaustiva sempre podem definir la funció ''g''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''f''(''X'') amb ''g''(''x'')=''f''(''x'') per a tot ''x'' de ''X'' que sí que serà exhaustiva, ja que haurem definit com a conjunt d'arribada de ''g'' el seu recorregut.
 
Aquest procés s'utilitza per a invertir les [[funció injectiva|funcions injectives]] que no són exhaustives, convertint-les així en [[bijecció|bijeccions]]. El procés és: sigui ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' una funció injectiva existirà sempre una funció ''f''<sup>-1</sup>:&nbsp;''f''(''X'')&nbsp;→&nbsp;''X'' tal que ''f''<sup>-1</sup>(''f''(''x''))=''x'' per a tot element ''x'' de ''X''.
 
== Funcions invertibles per la dreta ==
Cada funció amb [[Funció inversa#Inverses per l'esquerra i per la dreta|inversa per la dreta]] és una funció exhaustiva. El recíproc és equivalent a l'[[axioma d'elecció]]. És a dir, acceptant l'[[axioma d'elecció|elecció]], una funció ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' és exhaustiva [[si i només si]] hi ha una funció ''g'':&nbsp;''Y''&nbsp;→&nbsp;''X'' tal que, per cada <math>y \in Y</math>
:<math>f(g(y)) = y \,</math> (''g'' pot ser desfeta per ''f'')
Línia 38:
* Si ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' és exhaustiva i ''B'' és un [[subconjunt]] de ''Y'', llavors ''f''(''f''<sup>&nbsp;−1</sup>(''B''))&nbsp;=&nbsp;''B''. És a dir, ''B'' pot ser recuperat a partir de la seva [[antiimatge]] ''f''<sup>&nbsp;−1</sup>(''B'').
* Per a qualsevol funció ''h'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Z'' hi ha una funció exhaustiva ''f'':''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' i una [[funció injectiva]] ''g'':''Y''&nbsp;→&nbsp;''Z'' tals que ''h''&nbsp;= ''g''∘''f''. Per veure-ho, es defineix ''Y'' els conjunts ''h''<sup>&nbsp;−1</sup>(''z'') on ''z'' és de ''Z''. Aquests conjunts són disjunts i parteixen ''X''. Per tant ''f'' porta cada ''x'' cap a l'element de ''Y'' que el conté, i ''g'' porta cada element de ''Y'' cap al punt de ''Z'' al qual ''h'' envia els seus punts. Per tant ''f'' és exhaustiva donat que és una projecció, i ''g'' és injectiva per definició.
* A base de col·lapsar tots els arguments que donen la mateixa imatge, tota funció exhaustiva indueix una bijecció definida sobre el quocient del seu domini. De forma més precisa, cada funció exhaustiva ''f'' : ''A'' → ''B'' pot ser descomposta en la composició d'una projecció amb una bijecció tal com segueix. Sia ''A''/~ les classes d'equivalència de ''A'' baix la següent relació d'equivalència: ''x'' ~ ''y'' si i només si ''f''(''x'') = ''f''(''y''). De forma equivalent, ''A''/~ és el conjunt de totes les antiimatges a través de ''f''. Sia ''P''(~) : ''A'' → ''A''/~ l'aplicació projecció la qual envia cada ''x'' de ''A'' a la seva classe d'equivalència [''x'']<sub>~</sub>, i sia ''f''<sub>''P''</sub> : ''A''/~ → ''B'' la funció donada per ''f''<sub>''P''</sub>([''x'']<sub>~</sub>) = ''f''(''x''). Llavors ''f'' = ''f''<sub>''P''</sub> ∘ ''P''(~).
* Si ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' és una funció exhaustiva, llavors ''X'' té com a mínim tants elements com ''Y'', en el sentit del [[nombre cardinal]].
* Si tots dos ''X'' i ''Y'' són [[conjunt finit|finits]] amb el mateix nombre d'elements, llavors ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' és exhaustiva si i només si ''f'' és [[injectiva]].