Diferència entre revisions de la pàgina «Màxims i mínims»

m
estandarditzant codi encapçalaments i llistes
m (neteja i estandardització de codi)
m (estandarditzant codi encapçalaments i llistes)
En [[matemàtiques]], dels '''màxims''' i dels '''mínims''', se'n diu de forma general '''extrems'''. Són el valor ''més gran'' (màxim) o el ''més petit'' (mínim), que pren una [[funció (matemàtiques) |funció]], ja sigui en un entorn del punt (extrem local) o en tot el [[domini (matemàtiques)|domini]] (extrem global).
 
== Definicions ==
Es defineix màxim com
{{definició|Donada una funció real <math>\,f(x)</math>, es diu que té un '''màxim local''' al punt <math>\,x_0</math>, si existeix algun [[Veïnat (matemàtiques)|entorn reduït]] de <math>\,x_0</math>, que simbolitzarem per <math>E^*_{x_0}</math>, tal que <math>\forall x \in E^*_{x_0}: f(x) \leq f(x_0)</math>. }}
''Terminologia'': El terme '''òptim''', depenent del context pot substituir, un o tots dos, els termes '''màxim''' o '''mínim'''. Alguns problemes d'optimització busquen un màxim global mentre que d'altres busquen un mínim.
 
== Trobar màxims i mínims ==
Els extrems locals es poden trobar gràcies al [[teorema de Fermat (punts estacionaris)|teorema de Fermat]] que en essència diu que si una funció té un extrem local en un punt i és derivable en aquest punt llavors la derivada en aquest punt val zero.
Això dóna una condició necessària però no suficient perquè en un punt una funció tingui un extrem local: que la seva derivada sigui zero, per tant derivar la funció i plantejar l'equació de què la seva derivada sigui igual a zero permet de trobar els punts candidats a ser els extrems.
* La funció ''x''<sup>3</sup> no té màxims ni mínims. Tot i que la derivada primera (3''x''<sup>2</sup>) val 0 a ''x'' = 0, és un [[punt d'inflexió]].
* La funció ''x''<sup>3</sup>/3 − ''x'' té com a derivada primera ''x''<sup>2</sup> − 1 i com a [[derivada segona]] 2''x''. Igualant a 0 la derivada primera i resolent ''x'' dona els punts estacionaris −1 i +1. A parir del signe de la derivada segona es veu que −1 és un màxim local i que+1 és un mínim local. Fixeu-vos que aquesta funció no té màxim ni mínim global.
* La funció |''x''| té un mínim global a ''x'' = 0 que no es pot trobar emprant derivades perquè no és derivable a ''x'' = 0.
* La funció cos(''x'') té infinits màxims globals a 0, ±2&pi;, ±4&pi;, …, i infinits mínims globals a ±&pi;, ±3&pi;, ….
* La funció 2 cos(''x'') − ''x'' té infinits màxims i mínims locals, però no té màxim ni mínim globals.
* La funció ''x''<sup>3</sup> + 3''x''<sup>2</sup> − 2''x'' + 1 definida a l'interval tancat (segment) [−4,2] té: un màxim local a ''x'' = −1−<sup>&radic;15</sup>&frasl;<sub>3</sub>, un mínim local a ''x'' = −1+<sup>&radic;15</sup>&frasl;<sub>3</sub>, un màxim global a ''x'' = 2 i un mínim global a ''x'' = −4. (Vegeu figura de la dreta)
 
== Funcions de diverses variables ==
Per a funcions de més d'una variable, s'apliquen consideracions similars.
 
2.085.069

modificacions