Polinomi característic: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m estandarditzant codi encapçalaments i llistes |
||
Línia 4:
En l'[[àlgebra lineal]], s'associa un [[polinomi]] a cada [[matriu quadrada]] anomenat '''polinomi característic'''. Aquest polinomi conté una gran quantitat d'informació sobre la [[matriu (matemàtiques)|matriu]], els més significatius són els [[valor propi|valors propis]], el seu [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] i la seva [[traça]].
== Motivació ==
Donada una matriu quadrada ''A'', volem trobar un polinomi tal que les seves arrels siguin precisament els valors propis de ''A''. Per a una [[matriu diagonal]] ''A'', el polinomi característic és fàcil de definir: si els elements de la diagonal són ''x''<sub>''i''</sub> per a tota <math>i\in \{ 1, \dots, n \} </math>, el polinomi característic en la indeterminada ''t'' és
Línia 21:
on '''''I''''' és la [[matriu identitat]]. Com que ''v'' és no nul, la matriu λ'''''I''''' − ''A'' és [[matriu singular|singular]], la qual cosa implica que el seu [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] és 0. Acabem de veure que les arrels de la funció [[Determinant (matemàtiques)|det]](''A'' − ''t'''I''''') són els valors propis de ''A''. Com que aquesta funció és un polinomi en ''t'', ja hem trobat el polinomi que cercàvem.
== Definició formal ==
Sigui ''K'' un [[cos (matemàtiques)|cos]] i ''A'' una matriu quadrada ''n''-dimensional sobre ''K''. El polinomi característic de ''A'', denotat per ''p''<sub>''A''</sub>, és el polinomi definit per
Línia 46:
Finalment hem obtingut el polinomi característic d'''A''.
== Propietats ==
El polinomi ''p''<sub>''A''</sub> és [[Polinomi mònic|mònic]] (el seu coeficient líder és 1) i de grau ''n''. El fet més important sobre el polinomi característic ja fou anomenat en el paràgraf de motivació: els valors propis de ''A'' són precisament les [[Arrel d'una funció|arrels]] de ''p''<sub>''A''</sub>. El terme independent ''p''<sub>''A''</sub>(0) és igual a (−1)<sup>''n''</sup>det(''A''), i el coeficient del terme de grau ''n'' − 1 és igual a −tr(''A''), la [[traça]] de ''A''. Per a una matriu ''A'' de mida 2×2, el polinomi característic es pot expressar com: ''p''<sub>''A''</sub>(''t'') = ''t''<sup>2</sup> − tr(''A'')''t'' + det(''A'').
| |||