Programa d'Erlangen: diferència entre les revisions

Davant l'aparició de les noves [[geometries no euclidianes]], sembla lògic preguntar-se què és la Geometria, més quan la mateixa idea de la geometria euclidiana s'havia vist modificada des de la irrupció dels mètodes algebraics i analítics. Comença a no estar tan clar que la geometria sigui l'estudi de punts, línies (rectes o corbes) i superfícies, ja que la pròpia [[anàlisi matemàtica]] (sobretot en l'estudi d'[[equacions diferencials]]) sembla que també estudia aquests objectes. D'altra banda, els mètodes analítics i algebraics també són aplicables a les geometries no euclidianes. Hi ha, diguem, dos nivells de distincions: d'una banda, la de les geometries no euclidianes i la [[geometria euclidiana]], d'altra banda, la distinció entre el mètode sintètic, l'algebraic i l'analític.

 

Klein dóna resposta a aquesta pregunta introduint en la Geometria un nou concepte de caràcter algebraic: el concepte de [[grup (matemàtiques) | grup]]. Un grup és un conjunt <math> G </math> on hi ha definida una [[operació binària | operació]], és a dir, una aplicació <math> G \times G \longrightarrow G </math> que a cada parell d'elements del conjunt li assigna altre element del conjunt (que serà el resultat d'operar aquests dos elements). Mentre que la majoria de la gent està familiaritzada amb les operacions numèriques, els resulta difícil imaginar que puguin operar punts, rectes, etc. Es pot fer, i només cal pensar en, per exemple, l'operació "prendre el punt mitjà", que a cada parell de punts li assigna el punt mitjà del segment que uneix els dos primers punts.