Sistema de coordenades cilíndriques: diferència entre les revisions

El '''sistema de coordenades cilíndriques''' és un [[sistema de coordenades]] tridimensional que essencialment estén el [[sistema de coordenades polars]] afegint-li una tercera coordenada (normalment notada <math>z</math>) que mesura l'alçada del punt per damunt del pla del sistema de coordenades polars inicial.

 

La notació per aquest sistema de coordenades no és uniforme. L'estàndard [[ISO 31-11]] l'estableix com <math>(\rho,\varphi,z)</math>. Però, en molts casos l'[[azimut]] <math>\varphi</math> es denota com <math>\theta</math>. La coordenada radial de vegades s'anomena <math>r</math> mentre que a coordenada vertical de vegades és referida com <math>h</math>.

 

* <math>z</math> el mateix que en el sistema de coordenades cartesià és a dir, la distància del punt P al pla xy.

 

Com que el sistema de coordenades cilíndriques només és un dels molts sistemes de coordenades en tres dimensions, hi ha equacions que a partir de les coordenades d'un punt en un sistema cilíndric permeten calcular les coordenades del mateix un en cada un dels altres i viceversa.

 

D'aquest càlcul, o d'aplicar aquestes equacions ([[composició de funcions|compondre les funcions]]) a les equacions que defineixen diferents entitats geomètriques, se'n diu canvi de coordenades o transformació de coordenades.

 

{{principal|coordenades cartesianes}}

* La funció de canvi de variables <math>f</math> per passar de coordenades cilíndriques a coordenades cartesianes és <math>f(x,y,z)=(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z)\,</math>.

 

Fixeu-vos que es fa servir la funció [[Inverses de les funcions trigonomètriques#L'arctangent amb dos arguments|atan2()]] que no és estàndard: Això fa que s'obtingui un valor entre 0 i 2π en comptes d'entre -π i π com faria la funció arctangent habitual.

 

{{principal|coordenades esfèriques}}

Les coordenades esfèriques per a determinar unívocament cada punt de l'espai de tres dimensions li assignen: la distància radial entre el punt i un origen fixat (''r''), l'angle [[zenit]]al que es mesura des del semieix positiu z fins a la recta que passa per l'origen i el punt (''θ''), i l'angle [[azimut]]al que es mesura entre el semieix positiu x i la [[projecció ortogonal]] al pla x-y d'aquesta mateixa recta (''φ'').

Les coordenades cilíndriques són útils en analitzar fenòmens que són simètrics respecte d'un eix si es tria l'eix z de forma que coincideixi amb l'eix de simetria del fenomen. Per exemple per estudiar el camp magnètic creat pel corrent que circula per un conductor cilíndric recte molt llarg. El sistema de coordenades cilíndric permet obtenir expressions matemàtiques més senzilles en aquests casos perquè l'equació d'un cilindre que en coordenades cartesianes és <math>\ x^2+y^2=c^2</math> en coordenades cilíndriques adopta una forma tan senzilla com <math>\ \rho = c</math>. D'aquí ve el nom de coordenades "cilíndriques".

 

:''Vegeu [[Integral múltiple#Coordenades cilíndriques|Integral múltiple]] per trobar més detalls sobre la inintegal de volum en coordenades cilíndriques.''

En molts problemes on intervenen coordenades cilíndriques, és útil conèixer l'expressió dels elements d'arc, superfície i de volum per tal de poder efectuar càlculs d'integrals que donin logituds de corbes àrees de superfícies i volums.

:<math>\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz.</math>

 

Els operadors diferencials [[gradient (matemàtiques)|gradient]], [[divergència]], [[rotacional]] i [[laplaciana]] tenen expressions particulars en coordenades cilíndriques:

 

:<math>

\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho}

</math>

 

:<math>

\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho F_\rho)}{\partial \rho}

</math>

 

:<math>

\nabla\times \vec F=\frac{1}{\rho}\left|

</math>

 

:<math>

\nabla^2\phi = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\right)