ZFC: diferència entre les revisions

== El conjunt d'axiomes ==

La teoria axiomàtica de conjunts es desenvolupa en el marc de la [[lògica de primer ordre]], amb els seus símbols habituals de connectives ( <math>\land, \lor, \neg, \rightarrow, \leftrightarrow</math>) i de quantificadors ( <math> \forall, \exist</math> ), més el predicat d'igualtat (<math>=</math>) i una relació binària de pertinença (<math>\in</math>). Denotem amb majúscules els conjunts i amb minúscules els elements d'un conjunt (que, òbviament, poden ser altres conjunts). Existeixen diverses formalitzacions equivalents dels axiomes; seguim la proposada per Thomas Jech.{{sfn|Jech|2003|p= 3}}

{{AP|Axioma d'extensionalitat}}

Si <math>X</math> i <math>Y</math> tenen els mateixos elements, aleshores <math>X=Y</math>.

L'axioma expressa la idea bàsica que un conjunt està determinat pels seus elements.{{sfn|Jech|2003|p= 6}}

 

Per a qualsevol <math>a</math> i <math>b</math> existeix un conjunt <math>\{a,b\}</math> que conté exactament <math>a</math> i <math>b</math>

 

Per l'axioma d'extensionalitat, el conjunt <math>c</math> és únic. D'altra banda, com que <math>\{ a,b \} = \{ b,a \}</math> podem definir també el ''parell ordenat'': <math>(a,b)</math> que satisfà la condició <math>(a,b)=(c,d) \leftrightarrow (a=c) \land (b=d)</math>.{{sfn|Jech|2003|p= 7}} De la mateixa forma es poden definir [[n-pla|''n''-ples]], és a dir, triples, quadrúples, etc.

 

{{AP|Axioma de separació}}

Si <math>P</math> és una propietat (amb paràmetre <math>p</math>), aleshores per a tot <math>X</math> i <math>p</math> existeix un conjunt <math>Y=\{u \in X:P(u,p)\}</math> que conté tots els <math>u \in X</math> que tenen la propietat <math>P</math>

Una conseqüència directa de l'axioma de separació, és que la intersecció i la resta de dos conjunts és un altre conjunt i es poden definir les operacions: <math>X \cap Y = \{ u \in X : u \in Y \}</math> i <math>X - Y = \{ u \in X : u \notin Y \}</math>.

 

{{AP|Axioma de la unió}}

Per a tot <math>X</math> existeix un conjunt <math>Y= \bigcup X</math>, unió de tots els elements de <math>X</math>

Per extensionalitat el conjunt <math>Y</math> és únic.

 

Per a tot <math>X</math> existeix el [[conjunt potència]] <math>Y=\mathcal{P}(X)</math>, que és el conjunt format per tots els subconjunts de <math>X</math>

 

Quan <math>u \in X</math> i <math>u \ne X</math> diem que <math>u</math> és un ''subconjunt propi'' de <math>X</math>.

 

{{AP|Axioma de l'infinit}}

Existeix un [[conjunt infinit]].

La combinació d'aquest axioma amb l'axioma del conjunt potència, implica l'existència d'infinits conjunts infinits diferents, ja que el conjunt potència del conjunt infinit és un altre conjunt infinit de cardinalitat estrictament superior. I així successivament.

 

{{AP|Axioma de reemplaçament}}

Si una classe <math>F</math> és una funció, aleshores per a tot <math>X</math> existeix un conjunt <math>Y=F(X)=\{ F(x):x \in X \}</math>

Com en el cas de l'axioma de separació, per a cada funció <math>\phi</math>, la fórmula anterior és un axioma, per això se l'anomena ''esquema d'axioma de reemplaçament''.

 

{{AP|Axioma de regularitat}}

Tot conjunt no buit té un element [[Element minimal|minimal]] per ∈.

Com a conseqüència no existeix la seqüència infinita <math>x_0 \ni x_1 \ni x_2 \ni ...</math>. En particular, no existeix cap conjunt tal que <math>x \in x</math> i no existeixen ''cicles'': <math>x_0 \in x_1 \in x_2 \in ... \in x_n \in x_0</math>.

 

{{AP|Axioma de l'elecció}}

Tota família de conjunts no buits té una funció d'elecció que permet seleccionar un element de cada conjunt.