Identitat de Beltrami: diferència entre les revisions

{{Equation box 1

|indent =:

|cellpadding= 6

|border

on {{math|''C''}} és una constant.<ref group="Nota">Per tant, la [[transformada de Legendre]] del [[Formulació lagrangiana|lagrangià]], del [[Formulació hamiltoniana|hamiltonià]], és constant al llarg del camí dinàmic.</ref><ref>{{ref-web |cognom=Weisstein |nom=Eric W |url=http://mathworld.wolfram.com/Euler-LagrangeDifferentialEquation.html |títol=Euler-Lagrange Differential Equation |obra=MathWorld |llengua=anglès}}</ref>

 

La següent [[Derivada|derivació]] de la identitat de Beltrami comença amb l'equació d'Euler-Lagrange,

:<math> \frac{\partial L}{\partial u} =\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial u'} \, . </math>

 

== Aplicacions ==

=== Solució al problema de la braquistòcrona ===

[[Fitxer:Petite brachistochrone.gif|miniatura|La solució al problema de la [[braquistòcrona]] és la [[cicloide]]]]

:<math> L(y,y') = \sqrt{ {1+y'^{\, 2}} \over y } </math>

no depèn explícitament de la variable d'integració <math>x</math>, de manera que s’aplica la identitat de Beltrami,

Substituint per <math>L</math> i simplificant,

:<math> y(1+y'^{\, 2}) = 1/C^2 ~~\text {(constant)} \, , </math>

:<math>x = A(\phi - \sin \phi) </math>

:<math>y = A(1 - \cos \phi) </math>

<references group="Nota"/>

 

{{referències}}