Ossos neperians: diferència entre les revisions

LEls '''ossos neperians'''àbac neperiào '''varetes ésneperianes''', unsón [[àbac]]els elements inventatinventats per [[John Napier]], que constitueixen l'anomenat '''àbac neperià''' que s'usausen per al [[càlcul numèric]] de productes i quocients de nombresnúmeros. També és anomenat àbac rabdològic (del grec? Aßdo?, Vareta i? O "o", tractat). Napier va publicar la seva invenció de lesd'aquestes varetes en una obra impresa a [[Edimburg]] a finals del [[1617]] intitulada Rhabdologia. Mitjançant aquest mètode, els productes es redueixen a operacions de suma i els quocients a operacions de restesresta, de la mateixa manera com les taules de [[logaritme]]s inventades per ell transformen les potències en productes i les arrels en divisions.

L'àbac consta d'un tauler amb una vora on es col·loquen les varetes neperianes per realitzar les operacions de multiplicació o divisió. El tauler té la seva vora esquerra dividida en 9 caselles en les quals s'escriuen els nombresnúmeros que van d'1 a 9.

Una vareta neperiana esconsisteix constitueixen d'una tira de fusta, metall o cartró gruixut. La cara anterior està dividida en 9 quadrats, els quals tots, excepte el superior, esestan divideixendividits en dues meitats per un traç diagonal.

A la primera casella de cada vareta s'hi escriu el nombrenúmero: a les següents caselles s'hi escriu el doble d'aquest nombrenúmero, el triple, el quàdruple i així successivament fins a arribar al nònuple del nombrenúmero al qual correspon la vareta.

Proveïts del conjunt descrit, suposem que volem calcular el producte del nombrenúmero 46785399 multiplicat per 7. Al tauler posarem les varetes corresponents al nombrenúmero, tal com mostra la figura, i farem una posterior lectura del resultat en la faixa horitzontal que correspon al 7 del casella del tauler. Aquesta operació només requereix unes senzilles sumes, naturalment amb el [[ròssec]] dels dígits situats en diagonal.

En el cas que algun dígit del nombrenúmero que volem multiplicar sigui zero, n'hi hauria prou amb deixar un buit entre les varetes.

Suposem que volem multiplicar el nombrenúmero anterior per 96.431. Operarem anàlogament al cas anterior obtenint ràpidament els productes parcials del nombrenúmero per 9, 6, 4, 3 i 1. Si els posem correctament i els sumem, n'obtindrem el resultat total.

De la mateixa manera podem realitzar divisions un cop coneixem els 9 productes parcials del dividend; els quals es determinen mitjançant l'àbac. Només cal que seleccionem el nombrenúmero inferior immediat a la resta sense necessitat de realitzar els molestos temptejos que requereixen les divisions realitzades a mà.

:: Això fa que s'hagi de desplaçar els 3 - 1 = 2 dígits del dividend, i quedi el nombrenúmero 467.853 com el [[minuend]], al qual cal buscar el [[subtrahend]] adequat.

:: Si usem la taula neperiana obtinguda, busquem el nombrenúmero menor més proper a 467.853, en aquest cas és el 385.724, el subtrahend de l'operació; el nombrenúmero associat a la taula neperiana és el 4, nombrenúmero que forma part del quocient. El resultat de la resta és 82.129.

:: Novament, cal realitzar l'operació de resta a 821.299 (minuend) amb el subtrahend menor més proper de la taula neperiana, que és el 771.448. El nombrenúmero associat és 8 i la resta obté el 49.851.

:: Del minuend 498.519, es busca a la taula neperiana el menor més pròxim, que és el 482.155, el nombrenúmero associat és el 5. La resta té com a resultat 16.364.

: * Com que el 16.364 és menor que qualsevol dels nombresnúmeros de la taula neperiana i, a més, ja sabem quins són els tres dígits del quocient: 4, 8 i 5, ja hem obtingut el resultat de la resta de l'operació.

Com ja sabem, per extreure una [[arrel quadrada]], abans de tot cal agrupar els dígits de dos en dos des de la coma, tant cap a la dreta com cap a l'esquerra, de manera que el nombrenúmero quedi de la manera següent:

Per exemple: el nombrenúmero 458.938,34 quedaria 45 89 38, 34.

Posteriorment, i de forma iterativa, s'afegeix el següent parell a la resta, i ens queda un nombrenúmero de la forma YXX (i, la resta anterior, xx el parell afegit) que anomenarem Ra. La següent xifra de la solució haurà de ser tal que el quadrat de la solució parcial ab (sent ab un nombrenúmero de dos dígits, no un producte) sigui menor que xxxx (els dos primers pares del radicand):

Els productes indicats poden obtenir-se fàcilment amb l'àbac de Napier, però per a això és necessària una vareta auxiliar que fa que cada faixa horitzontal reculli els quadrats dels nombresnúmeros corresponents.

Coneguda la primera xifra a, posem a l'àbac la (o les) varetes corresponents al doble de a. Fet això, només caldrà afegir la vareta dels quadrats per trobar el nombrenúmero. Ara bé, el resultat ha de complir l'equació (I), que serà el corresponent a la faixa b. Aquest nombrenúmero s'ha de sostreure de Ra per trobar Rb.

Vegem-ho amb un exemple. Desitgem obtenir l'arrel quadrada del nombrenúmero 46 78 53 99. Prenem el primer parell (46) i determinem el quadrat immediatament inferior, que resulta ser 36 (49 que és el següent és més gran que 46), de manera que la primera xifra de la solució és 6, i la resta: 46 -- 6/6 = 46-36 = 10.

Posem les varetes de 6.2 = 12 en el tauler, i seguidament la vareta auxiliar dels quadrats. Componem la resta i el següent parell obtenint el nombrenúmero 1.078 que no haurà de ser superat pel quadrat de (6b). Llegim en l'àbac (1) el valor 1024, i trobem que b = 8 i el nou resta 1078-1024 = 54, descendint el següent parell, obtenim un valor de 545.312.

Per exemple, per obtenir el primer decimal, baixaríem el parell 00 obtenint el nombrenúmero 1.347.800 i col·locaríem les varetes de l'9.2 = 18, quedant en el tauler les següents: 1-3-6-7 (6+1) -8 -- auxiliar. Fent la comprovació, s'obté el primer decimal = 9.

L'aparell és una magnífica caixa de [[fusta]] amb incrustacions d'[[os]]. A la part superior conté l'àbac rabdològic, mentre que a la inferior hi ha el segon àbac. Aquest, consta de 300 fitxes emmagatzemades en 30 calaixos de les quals 100 estan cobertes de xifres i 200 mostren petits forats triangulars que permeten veure únicament certes xifres de les fitxes de nombresnúmeros quan se superposen a aquelles. Per tant, gràcies a l'hàbil col·locació d'uns i altres es poden fer multiplicacions fins al límit sorprenent d'un nombrenúmero de 100 xifres per un altre de 200.

A les portelles de la caixa es troben, a més, les primeres potències dels nombresnúmeros dígits, els coeficients dels termes de les primeres potències del [[binomi]] i les dades numèriques dels [[políedre]]s regulars.

* [[Nombre e|número e]]