Diferència entre revisions de la pàgina «Binomi de Newton»

183 octets eliminats ,  fa 4 mesos
m
Manteniment de plantilles
m (neteja i estandardització de codi)
m (Manteniment de plantilles)
[[Fitxer:Binomial theorem visualisation.svg|miniatura|Visualització de l'expansió fins a la quarta potència del binomi]]
El '''[[Binomi]] de [[Isaac Newton|Newton]]'''<ref>{{Ref-llibre|cognom=|nom=|editor=Rosa Mateu Martínez, Montserrat Torras i Conangla (Coords.)|títol=Diccionari de matemàtiques i estadística|url=|edició=|llengua=català|any=2002|data=|editorial=Universitat Politècnica de Catalunya, Enciclopèdia Catalana|lloc=Barcelona|pàgines=|isbn=8441227926}}</ref><ref>{{Ref-llibre |cognom=Råde |nom=Lennart |cognom2=Westergren |nom2=Bertil |títol=Mathematics Handbook for Science and Engineering |url=http://www.springer.com/gp/book/9783540211419 |edició= |llengua=|data=|editorial=Springer |lloc= |pàgines= |isbn=978-3-662-08549-3}}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom=Bronshtein, I.; Semendiaev, K.|nom=|títol=Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes |url= |edició= |llengua=Castellà |data=1977 |editorial=MIR |lloc=Moscou |pàgines= |isbn=}}</ref> o '''teorema del binomi''' és una fórmula que serveix per a calcular la potència <math>n</math> d'un '''binomi''' <math>(a+b)
</math>. És per tant una generalització de les fórmules elementals <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> i <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>. Aquestes dues formen part del que s'anomenen [[Identitat notable|Identitats notables]], i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, i volums de cubs i paral·lelepípedes.
 
 
== La sèrie binomial ==
Si escrivim <math>(a+b)^n=a^n(1+\frac{b}{a})^n </math> podem anomenar <math>x=\frac{b}{a}</math> i escriure <math>\alpha</math> en lloc de <math>n</math>. La funció <math>f(x)=(1+x)^\alpha</math>rep el nom de funció binomial i té sentit també si <math>\alpha</math> és un nombre complex qualsevol. La seva sèrie de Mclaurin té radi de convergència més gran o igual que 1, segons el valor de <math>\alpha</math>, i es coneix com a sèrie binomial o expansió binomial.<ref>{{Ref-llibre|cognom=M. Abramowitz; I. A. Stegun (eds.)|nom=|títol=Handbook of Mathematical Functions: with formulas, graphs, and mathematical tables|url=people.math.sfu.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf|edició=|llengua=anglès|data=1970|editorial=Dover|lloc=|pàgines=|isbn=0486612724}}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom=F.W.J. Oliver, et al. (eds.)|nom=|títol=NIST Handbook of Mathematical functions|url=|edició=|llengua=|data=2010|editorial=Cambridge University Press|lloc=Cambridge|pàgines=|isbn=9780521140638}}</ref> Aquesta generalitza el Binomi de Newton <math>(1)</math>, que és el cas en què <math>\alpha</math> és un nombre natural.
 
<math>\begin{align} (1 + x)^\alpha &= \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots, \end{align}</math>
El terme <math>{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math> quan <math>a=1-p</math> i <math>b=p</math> és la probabilitat que el nombre d'èxits sigui exactament <math>k</math> en una seqüència de <math>n</math> assaigs independents amb una probabilitat fixa <math>p</math> d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs. A aquesta distribució de probabilitat se li dona el nom de [[distribució binomial]].
 
La primera aparició escrita de la sèrie binomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676.<ref>{{Ref-llibre|cognom=Suzuki|nom=Jeff|títol=Mathematics in Historical Context|url=|edició=|llengua=anglès|data=|editorial=The Mathematical Association of America|lloc=|pàgines=226|isbn=978-0-88385-570-6}}</ref> Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.<ref>{{Ref-llibre|cognom=Suzuki|nom=Jeff|títol=Mathematics in Historical Context|url=|edició=|llengua=anglès|data=|editorial=The Mathematical Association of America|lloc=|pàgines=233|isbn=978-0-88385-570-6}}</ref>
 
== Comentaris ==
1.276.609

modificacions