Corba de Peano: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
Correccions de format i nova referència
Noves imatges
Línia 9:
 
=== Construcció de la primera corba ===
[[Fitxer:Peano_curve.png|miniatura|Quatre iteracions d'una corba de Peano]]
Peano utilitza l'existència d'una notació en base tres per a tot nombre real. En el conjunt de les successions de valors de {0,1,2}, construeix una correspondència entre la successió: <math>T =(a_n)_{n\in\N^*}</math> i la parella de successions <math>(X, Y)=((b_n)_{n\in\N^*}, (c_n)_{n\in\N^*})</math> de la següent manera:
* <math>b_n=a_{2n-1} \text{ o }2-a_{2n-1}</math> segons si la suma dels termes de rang parell de la successió <math>(a_n)</math> : <math>\sum_{1\le k\le n-1}a_{2k}</math> : és [[Nombre parell|parell o senar]] (per convenció, la suma buida <math>\sum_{1\le k\le0}a_{2k}</math> és nul·la i per tant parella, doncs <math>b_1=a_1</math>)
* <math>c_n = a_{2n}\text{ o }2-a_{2n}</math> segons si la suma dels termes de rang senar de la successió <math>(a_n)</math> : <math>\sum_{k=1}^{n}a_{2k-1}</math> és parell o senar.
 
[[Fitxer:Peano_curve.png|miniatura|Quatre iteracions d'una corba de Peano]]
A cada successió, li associa el real del qual la successió n'és un desenvolupament en base 3<center class=""><math>t=0,a_1a_2\cdots a_n\cdots = \sum_{k=1}^{+ \infty}a_k3^{-k},\qquad x=0,b_1b_2\cdots b_n\cdots = \sum_{k=1}^{+ \infty}b_k3^{-k},\qquad y=0,c_1c_2\cdots c_n\cdots = \sum_{k=1}^{+ \infty}c_k3^{-k}</math></center>i demostra que la correspondència que, al real t, li associa la parella de reals (x,y) és una aplicació exhaustiva i contínua de [0,1] en [0,1]×[0,1].
 
Linha 18 ⟶ 19:
 
=== Corbes posteriors ===
{|class = "wikitable" align = "right" style = "margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em;"
|Valign = "top"|[[Fitxer:Peano_corba_simple.gif|marc|centre|Exemple de corba de Peano, es mostren els ordres 1 fins al 6. La corda va canviant de color progressivament de manera que indica l'ordre pel que passa per cada quadrant.]]
|Valign = "top"|[[Fitxer:Peano_corba_sierpinski.gif|marc|centre|Si en l'algorisme s'elimina la línia del centre, en comptes d'un pla es forma una [[catifa de Sierpinski]].]]
|}
Un any més tard, [[David Hilbert]] publica una construcció nova i més simple, coneguda avui amb el nom de [[corba de Hilbert]]. El seu article de 1891 és el primer a proposar una il·lustració de la seva construcció.<ref>{{Ref-publicació|lang = de|nom = D. Hilbert|títol= Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück|publicació = Math. Ann.|volum= 38|pàgines= 459-460|année = 1891|url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0038&DMDID=dmdlog40}}</ref>