Conjunt convex: diferència entre les revisions

26 octets eliminats ,  fa 1 any
m
m (estandarditzant codi encapçalaments i llistes)
En l'[[espai euclidià]], un objecte és '''convex''' si per a tots els parells de punts dins de l'objecte, tots els punts del segment recte que els uneix també estan dins de l'objecte. Per exemple, un [[cub]] sòlid és convex, en canvi un conjunt amb un espai buit interior o que té un bony no ho és, per exemple, una forma de [[mitja lluna]], no és convexa.
 
== En Geometriageometria Euclidianaeuclidiana ==
[[Fitxer:Convex supergraph.svg|miniatura|Una funció (en blau) és convexa [[si i només si]] la regió de damunt de la seva [[gràfica d'una funció|gràfica]] (en verd) és un conjunt convex.]]
Sia ''C'' un [[conjunt (matemàtiques)|conjunt]] en un [[espai vectorial]] [[nombre real|real]] o [[nombre complex|complex]]. Es diu que ''C'' és convex si, per a tot el ''x'' i ''y'' de C i tot ''t'' en l'interval [0,1], el punt
:(1 − ''t'') ''x'' + ''t y''
 
pertany a ''C''. En altres paraules, tots els punts en el [[segment lineal]] de recta que connecta ''x'' i ''y'' són de ''C''. Això implica que un conjunt convex en un [[espai vectorial topològic]] real o complex és [[conjunt connex|connex]].
 
Es diu que un conjunt ''C'' és [[absolutament convex]] si és convex i [[conjunt equilibrat|equilibrat]].
pertany a <math>S</math>. Tot vector d'aquest tipus s'anomena [[combinació convexa]] de <math>u_1,u_2,\ldots,u_r</math>.
 
La [[intersecció]] de qualsevol col·lecció de conjunts convexos és convexa, així els subconjunts convexos d'un espai vectorial (real o complex) formen un [[reticle (matemàtiques)|reticle]] complet. Això també significa per a qualsevol subconjunt ''A'' de l'espai vectorial existeix el conjunt convex més petit que el conté (anomenat l'[[embolcall convex]] d{{'}}''A''), és a dir que és la intersecció de tots els conjunts convexos que contenen ''A''.
 
Els conjunts convexos [[conjunt tancat|tancats]] es poden caracteritzar com les interseccions de [[semiespai]]s tancats (conjunts de punts de l'espai que són o bé damunt o bé a un costat d'un hiperplà). A partir del que s'acaba de dir, és clar que tals interseccions són convexes, i també seran conjunts tancats. Per demostrar el reciproc, és a dir que cada conjunt convex es pot representar com una intersecció d'aquest tipus, es necessita el [[teorema de l'hiperplà de suport]] en la forma que per a un conjunt convex tancat ''C'' donat i un punt ''P'' extern al conjunt, hi ha un semiespai tancat ''H'' que conté ''C'' i no ''P''. El teorema de l'hiperplà de suport és un cas especial del [[teorema Hahn-Banach]] de l'[[anàlisi funcional]].
240.450

modificacions