Demostració de l'últim teorema de Fermat: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Correccions de format |
Correcció de format |
||
Línia 73:
Per a aquesta demostració, estudia els nombres els cubs dels quals té la forma ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> amb ''p'' i ''q'' primers entre si. Per això, utilitza un mètode original per l'època : descompon ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> = (''p'' + {{Math|i}}√3''q'')(''p'' – {{Math|i}}√3''q'') i busca els nombres de la forma ''a'' + {{Math|i}}''b''√3 el cub dels quals és ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' : en termes moderns, treballa dins de l'[[Anell (matemàtiques)|anell]] ℤ[i√3]. El resultat que obté passa al conjugat ''p'' – {{Math|i}}√3''q''. En dedueix el resultat afirmant que si ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> és un cub ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' i ''p'' – {{Math|i}}√3''q'' igualment, del fet que ''p'' i ''q'' són primers entre ells, llavors- diu ell — ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' i ''p'' – {{Math|i}}√3''q'' també. Es demostra fàcilment pels enters ordinaris que el producte de dos nombres coprimers és un cub, llavors cap d'ells ho és, per exemple pel [[lema d'Euclides]] o més simplement per la [[Teorema fonamental de l'aritmètica|unicitat de la descomposició en factors primers]]. De fet encara es compleix per ℤ[i√3] però per raons diferents. Euler no dón l'argument però, segons desprèn la resta del seu llibre, sembla clar que la seva convicciórau en una analogia amb els enters.<ref>La démonstration d'Euler est décrite et discutée dans {{Harvsp|Edwards|2000|p=40-46}}. </ref> O 2 x 2 = (1 + i √3)(1 - i √3), no hi ha unicitat en la descomposició en irreductibles dins de ℤ[i√3].
[[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] va demostrar (en una publicació pòstuma<ref>(de) « Neue Theorie der Zerlegung der Cuben »'', dans C. F. Gauss, Werke'', vol. </ref>) per [[Mètode del descens infinit|descens infinit]] com Euler però correctament i de manera més simple i raonant amb [[Enter d'Eisenstein|l'anell ℤ[j<nowiki>]</nowiki>]] dels enters d'Eisenstein ({{Math|j}} designa una [[Arrel de la unitat|arrel cúbica no trivial de la unitat]]). És potser (entre d'altres) aquest succés el que el fa desmentir la [[conjectura]] de Fermat,<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Number Theory: Algebraic Numbers and Functions|numéro dans collection=24|collection=Graduate Studies in Mathematics|auteur
L'anell ℤ[j] és [[Anell factorial|factorial]] — contràriament al sub-anell ℤ[2j] = ℤ[i√3] — és-a-dir que en aquest anell, la décomposition en irréductibles és única. En efecte, es demostra dins de ℤ[j] l'equivalent del lema d'Euclides, a saber que tot irreductible és un element primer, anomenat nombre primer de Eisenstein. La utilització d'anells d'enters algebraics ben escollits és una de les tècniques més importanta del segle XIX per a la resolució del teorema per certs exponents. Quan no són factorials, s'han d'usar altres tècniques.
| |||