Diferència entre revisions de la pàgina «Espai euclidià»

289 octets eliminats ,  fa 1 mes
cap resum d'edició
m (Tipografia)
Etiquetes: des de mòbil via web per a mòbils editor visual Advanced mobile edit
 
Un '''espai euclidià''' és un [[espai vectorial]] [[Norma (matemàtiques)|normat]] de [[dimensió]] finita, en què la [[Norma (matemàtiques)|norma]] és heretada d'un [[producte escalar]].<ref>{{GEC|0025475|espai d'Euclides}}</ref>
 
== Primera aproximació ==
L{{'}}'''espai euclidià''' treu el seu nom del matemàtic grec [[Euclides]].
 
Històricament, l{{'}}'''espai euclidià''' ésconsta només de l'espai físic de 2 o 3 dimensions,: el [[pla]] o l'[[espai]], en el qual estan definits el [[punt (geometria)|punts]].
 
Aquests '''espais euclidians''' ''naturals'' són els universos en què van ser demostrats tots els grans [[teorema|teoremes]] de la geometria plana o de l'espai. I sónSón els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al {{segle|XIX}}.
 
En el {{segle|XIX}}, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. I és,És en aquest moment, quequan es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.
 
== Definicions matemàtiques ==
=== Espai vectorial euclidià ===
Un '''espai vectorial euclidià''' és un [[espai vectorial]] sobre <math>\mathbb R</math>, de dimensió finita ''n'' i dotat d'un [[producte escalar]].
 
En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una [[base ortonormal]]. En una tal base, es defineix el producte escalar ''canònic'' per:
: <math>\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=\langle(u_1,u_2,...,u_n),(v_1,v_2,...,u_n)\rangle= u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n</math>.
 
Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una [[Norma (matemàtiques)|norma]], que s'anomena '''''norma euclidiana''''':
: <math>\lVert \mathbf u\rVert=\sqrt {\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle}</math>,
i que també permet introduir la noció d'[[angle]]: l'angle geomètric entre dos vectors '''u''', '''v''' no nuls, és un valor real <math>\theta</math> comprès entre 0 i π, tal que:
: <math>\cos\theta=\frac {\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\lVert\mathbf u\rVert\cdot \lVert\mathbf v\rVert}</math>
 
=== Espai afí euclidià ===
Un '''espai afí euclidià''' és l'[[espai afí]] associat a un [[espai vectorial]] euclidià.
 
S'hi pot definir una [[distància]], nocions de l'[[angle]] geomètric, s'hi retroba el [[teorema de Pitàgores]] i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.
 
=== Exemples d'espai vectorial euclidià ===
* L'espai <math>\mathbb {R}^n</math>, amb el [[producte escalar]] euclidià:
: <math>\langle(x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)\rangle=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n,</math>
és un espai vectorial euclidià de dimensió ''n''.
* L'[[espai vectorial]] dels [[polinomi]]s de grau igual o inferior a n:
** amb el [[producte escalar]] euclidià:
: <math>\left \langle\sum ^{n}_{i=0}a_i X^i,\sum ^{n}_{i=o}b_iY^i\right \rangle=\sum _{i=0}^{n}a_ib_i</math>
és un '''espai euclidià''' de dimensió <math>n+1</math>.
** amb el [[producte escalar]]:
: <math>\langle P,Q\rangle=\int _0^1P(t)Q(t)dt</math>
és també un '''espai euclidià''' amb una [[Norma (matemàtiques)|norma]] diferent.
 
== Propietats dels espais euclidians ==
* En tot '''espai euclidià''', es pot definir una [[Base (àlgebra)|base ortonormal]]. Més concretament, si <math>(u_1,u_2,...,u_n)\,</math> és una base de <math>\mathbf E</math>, existeix una base <math>(v_1,v_2,...,v_n)\,</math> ortonormal, tal que per a tot <math>k</math> entre 1 i ''n'', es compleix que:
: <math>\langle u_1,u_2,...,u_k \rangle = \langle v_1,v_2,...,v_k \rangle\,</math>.,
en què s'entén per <math>\langle u_1,u_2,...,u_k \rangle\,</math> la varietat lineal engendrada per aquells <math>k</math> elements de la base.
 
* Tot '''espai vectorial euclidià''' de dimensió <math>n</math> és [[isomorfisme|isomorf]] a <math>\mathbb R^n</math>.
 
* Tot '''espai vectorial euclidià''' és complet. És, per tant, un cas particular d'[[espai de Banach]].
 
* Dos vectors amb [[producte escalar]] nul es diuen '''''ortogonals'''''. En tot [[espai vectorial|subespai vectorial]] <math>\mathbf F</math> d'un '''espai euclidià''' <math>\mathbf E</math> es pot associar un únic subespai <math>\mathbf {F}^{\bot}</math> format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de <math>\mathbf F</math>, que és el seu '''ortogonal'''.
 
* Si <math>x\,</math> és un vector de <math>\mathbf E</math>, l'aplicació [[producte escalar]] per <math>x\,</math>,<math>s_x :y\mapsto <x,y></math> és una forma lineal. L'aplicació que associa <math>x\,</math> a <math>s_x\,</math> és un [[isomorfisme]] de l'espai vectorial <math>\mathbf E</math> en el seu [[espai dual|dual]] <math>\mathbf E^*</math>.
 
* Si <math>f\,</math> és un [[endomorfisme]] de <math>\mathbf E</math>, existeix un únic [[endomorfisme]], que s'escriurà per <math>f^*\,</math> i anomenat adjunt de '''''adjunt de <math>f\,</math>''''', tal que:
: <math>\forall x,y \in \mathbf E, <f(x),y>=<x,f^*(y)></math>
Es defineix les nocions d''''endomorfisme simètric''' si <math>f=f^*\,</math>, i '''endomorfisme antisimètric''' si <math>f=-f^*\,</math>.
 
En una [[Base (àlgebra)|base ortonormal]], la matriu de <math>f^*\,</math> és la [[Matriu (matemàtiques)|transposada]] de <math>u\,</math>.
 
== Referències ==
486

modificacions