Propietat commutativa: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Plantilles |
m Codificació Unicode de l'entitat nbsp |
||
Línia 27:
*<math>\scriptstyle {1 \over 2} + {1 \over 3} = {1 \over 3} + {1 \over 2}\,</math>,
*<math>\scriptstyle 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot 2\,</math>.
Això ''no'' vol dir que qualsevol ampliació d'un sistema numèric necessàriament vagi a respectar les propietats prèvies. L'exemple més important d'aquest fet ve donat pel cos dels [[quaternions]] '''H''', que, igual que el dels nombres complexos, també és una [[extensió de cossos|extensió]] del cos dels nombres reals, però amb tres [[unitat imaginària|unitats imàginàries]] ''i'', ''j'', ''k'' en lloc d'una. La multiplicació de '''H''' ''no'' és commutativa,{{sfn|Bourbaki|1970|p= A
En contrast amb les operacions d'addició i multiplicació, les operacions que les permeten invertir, [[subtracció]] i [[divisió]], són clarament ''no commutatives''. Basta posar-ne un parell d'exemples:
Línia 35:
== Propietats ==
És important destacar que per a treure profit de la commutativitat d'una operació és necessari que aquesta sigui [[Associativitat|associativa]], ja que en aquest cas la composició de ''n'' elements ''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub> es pot representar (sense parèntesis) com ''x''<sub>1</sub><math>\star</math>…<math>\star</math>''x''<sub>''n''</sub>. Per exemple{{sfn|Bourbaki|1970|p= A
*(''Teorema de commutativitat'') Si una operació és associativa i commutativa aleshores la composició de ''n'' elements es pot calcular en qualsevol ordre:
::<math>x_1 \star \ldots \star x_n = x_{i_1} \star \ldots \star x_{i_n}</math>
Línia 97:
=== Teoria de conjunts ===
La [[unió]] i la [[intersecció]] de [[conjunt]]s són operacions commutatives.{{sfn|Bourbaki|1970.|p= E
:<math>A \cup B = B \cup A, \quad A \cap B = B \cap A</math>.
La suma i el producte de [[cardinal]]s són operacions commutatives.{{sfn|Bourbaki|1970.|p= E
Si <math>\mathfrak{a}</math> i <math>\mathfrak{b}</math> són dos cardinals, aleshores
:<math>\mathfrak{a} + \mathfrak{b} = \mathfrak{b} + \mathfrak{a}, \quad \mathfrak{a} \mathfrak{b} = \mathfrak{b} \mathfrak{a}</math>.
| |||