Funció de Cantor: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Manteniment de plantilles |
Correccions menors |
||
Línia 1:
La funció de Cantor, que es construeix a partir del [[conjunt de Cantor]],
Aquesta funció va ser introduïda per [[Georg Cantor|George Cantor]] l'any 1884 <ref>{{Ref-publicació|cognom=Cantor, G.|article=De la puissance des ensembles parfaits de points|publicació=Acta Mathematica|data=1884|pàgines=Vol. 4, pp. 381-392}}</ref> i permet demostrar que el conjunt de Cantor té el mateix cardinal que l'interval [0,1]; també va servir com contraexemple en l'extensió que en aquell temps s'estava fent del Teorema fonamental del càlcul a funcions discontínues; pels detalls històrics, vegeu <ref>{{Ref-publicació|cognom=Fleron, J. F.|article=A note on yhe history of the Cantor set and Cantor function|publicació=Mathematics Magazine|data=1994|pàgines=Vol. 67, no. 2, pp. 136_140}}</ref>
Línia 6:
== Construcció del conjunt de Cantor ==
La funció de Cantor es basa en el [[conjunt de Cantor]]. Per construir aquest conjunt, partim de l'interval [0,1] al que anomenem <math>C_0</math>:<math display="block">C_0=[0,1].</math> A continuació dividim aquest interval en tres parts: <math display="block">C_0=[0,\tfrac{1}{3}]\cup(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3})\cup[\tfrac{2}{3},1].</math> i n'eliminem la part central; el resultat l'anomenem <math>C_1</math>:<math display="block">C_1=[0,\tfrac{1}{3}]\cup[\tfrac{2}{3},1].</math> A la següent iteració fem exactament el mateix procés amb cadascun dels dos intervals que formen <math>C_1</math>: <math display="block">C_2=[0,\tfrac{1}{9}]\cup [\tfrac{2}{9},\tfrac{1}{3}]\cup[\tfrac{2}{3},\tfrac{7}{9}]\cup [\tfrac{8}{9},1].</math>
D'aquesta manera obtenim una successió decreixent de conjunts, vegeu la Figura 1.[[Fitxer:Construccio_Conjunt_Cantor.svg|alt=Dibuix dels conjunts on hem anat suprimint les parts centrals dels intervals||300px|marc|Figura 2. Construcció del conjunt Cantor]]
Línia 17:
== Definició de la funció de Cantor ==
=== Primera definició ===
La funció de Cantor <math>F:[0,1]\longrightarrow [0,1]</math> es defineix de la següent manera: si el punt <math>x</math> pertany al primer interval que hem suprimit en passar de <math>C_0</math> a <math>C_1</math>, això és, <math>x\in(1/3,2/3)</math> , prenem <math>F(x)=\tfrac{1}{2}</math>. <br/>Ara passem al nivell de <math>C_2</math>. Si <math>x</math> pertany al primer interval suprimit en aquest pas, (1/9,2/9), llavors <math>F(x)=\tfrac{1}{4}</math>. Si <math>x</math> pertany al segon interval suprimit, (7/9,8/9), llavors <math>F(x)=\tfrac{3}{8}</math>. I aixi successivament.
=== Definició explícita ===
| |||