Curvatura gaussiana: diferència entre les revisions

 

:: <math>K = \frac{\det\mathrm{I\!I}}{\det\mathrm I} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}.</math>

:: <math> K =\frac{\det \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}- \det \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix}}{(EG-F^2)^2} </math>

:: <math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right).</math>

* Per una superfície descrita com a gràfica d'una funció ''z'' = ''F''(''x'', ''y''), la curvatura gaussiana és:

* La curvatura gaussiana es pot obtenir a partir d'un límit amb la diferència d'àrees entre el disc geodèsic i el disc pla:<ref name="Bertrandtheorem"/>

:: <math>K = \lim_{r\to 0^+}12\frac{\pi r^2-A(r)}{\pi r^4 } </math>

:: <math>K = -\frac{1}{E} \left( \frac{\partial}{\partial u}\Gamma_{12}^2 - \frac{\partial}{\partial v}\Gamma_{11}^2 + \Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2 - \Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2 + \Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2\right)</math>