Curvatura gaussiana: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m →Llibres: format |
|||
Línia 50:
El teorema egregi de Gauss (del llatí ''Theorema Egregium'', teorema destacat) declara que la curvatura gaussiana d'una superfície pot ser determinada a partir de les mides de longitud en la superfície mateixa. De fet, es pot trobar donat el coneixement ple de la [[primera forma fonamental]] i expressada via la primera forma fonamental i les seves derivades parcials de primer i segon ordre. De manera equivalent, el [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] de la [[segona forma fonamental]] d'una superfície en '''R'''<sup>3</sup> també es pot trobar a partir dels termes anteriors. Aquest teorema és "notable", i sorprenent, perquè tot i que la definició de la curvatura gaussiana d'una superfície ''S'' en '''R'''<sup>3</sup> certament depèn en la manera que la superfície és situada en l'espai, el resultat final, la curvatura gaussiana, és determinada per la [[mètrica intrínseca]] de la superfície sense cap referència a l'espai on se situa: és una [[invariant intrínseca]]. En particular, la curvatura gaussiana és invariant sota deformacions [[isomètriques]] de la superfície.
En [[geometria diferencial]] contemporània, una "superfície", vista abstractament, és una [[varietat diferenciable]] bidimensional. Per connectar aquest punt de vista amb la [[teoria clàssica de superfícies]], tal superfície abstracta és [[embedding|incrustada]] a '''R'''<sup>3</sup> i dotada de la [[mètrica riemanniana]] donada per la primera forma fonamental. Suposem que la imatge de la incrustació és una superfície ''S'' en '''R'''<sup>3</sup>. Una isometria local és un [[difeomorfisme]] ''f'': ''U'' → ''V'' entre regions obertes de '''R'''<sup>3</sup> tal que la seva restricció a ''S'' ∩ ''U'' és una [[isometria]] a la seva imatge. Llavors, el
: La curvatura gaussiana d'una superfície llisa incrustada en '''R'''<sup>3</sup> és invariable sota les isometries locals.
Per exemple, la curvatura gaussiana d'un tub [[cilíndric]] és zero, la mateixa que pel "tub" desenrotllat (que és un pla). D'altra banda, com que una [[esfera]] de radi ''R'' té curvatura positiva constant ''R''<sup>−2</sup> i un pla té curvatura constant 0, aquestes dues superfícies no són isomètriques, fins i tot localment. Per això qualsevol representació planar de fins i tot una part d'una esfera ha de distorsionar les distàncies. Per tant, cap [[projecció cartogràfica]] és perfecta.
| |||