* El '''teorema de [[Ferdinand Minding|Minding]]''' (1839) estableix que totes les superfícies amb la mateixa curvatura constant K són localment [[isometria|isomètriques]]. Una conseqüència del teorema de Minding és que qualsevol superfície amb curvatura constant zero pot ser construïda flectint alguna regió plana. Tals superfícies són anomenades [[superfícies desplegables]]. Minding també va proposar la qüestió de si una [[superfície tancada]] amb curvatura positiva constant és necessàriament rígida.
* El '''teorema de Liebmann''' (1900) va resoldre la qüestió de Minding. Les úniques superfícies tancades regulars (de classe ''C''<sup>2</sup>) a '''R'''<sup>3</sup> amb curvatura gaussiana positiva constant són les [[esferes]].<ref>{{ref-llibre|cognom=Kühnel|nom=Wolfgang|títol=Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds| editorial=American Mathematical Society|any=2006|isbn=0-8218-3988-8}}</ref> Si es deforma una esfera el resultat no és una esfera, i per tant una esfera és rígida. Una demostració estàndard utilitza el [[lema de Hilbert]] que els punts no umbilicals de curvatura principal extrema tenen curvatura gaussiana no positiva.<ref>{{citar ref|títol=Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica|nom=Mary|cognom=Gray|edició=2nd| editorial=CRC Press|any=1997|isbn=9780849371646|citació=28.4 Hilbert's Lemma and Liebmann's Theorem|pàgines=652–654|url= https://books.google.cat/books?id=-LRumtTimYgC&pg=PA652}}</ref>
* El '''teorema de Hilbert''' (1901) diu que no existeix cap superfície regular analítica completa (classe ''C''<sup>''ω''</sup>) en '''R'''<sup>3</sup> de curvatura gaussiana negativa constant. De fet, la conclusió també se sosté per superfícies de classe ''C''<sup>2</sup> incrustades a '''R'''<sup>3</sup>, però es trenca per superfícies de classe ''C''<sup>1</sup>. La [[pseudoesfera]] té curvatura gaussiana negativa constant excepte en una cúspide singular.<ref>[http://eom.springer.de/h/h047410.htm ''Hilbert theorem''.]</ref>
