Teorema egregi: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
mCap resum de modificació |
+ secció aplicacions |
||
Línia 8:
: {{versaleta|Teorema}}. Si es desplega una superfície corba sobre qualsevol altra superfície, la mesura de la curvatura de cada punt roman invariant.<ref name="Pascual">{{ref-publicació |cognom=Pascual Gainza |nom=Pere |article=Geometria de superfícies: Una aproximació a la figura de Gauss |publicació=Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques |volum=20 |exemplar=2 |any=2005 |pàgina=151}}</ref>
El teorema és «egregi» (distingit, remarcable) perquè la definició inicial de curvatura gaussiana fa un ús directe de posició de la superfície en l'espai. Per això és força sorprenent que el resultat ''no'' depèn de l'''embedding'' malgrat totes les flexions i
En terminologia matemàtica moderna, el teorema pot enunciar-se de la manera següent:
: Dues superfícies isomètriques tenen la mateixa curvatura gaussiana en els punts corresponents per la [[isometria]].<ref name="Pascual"/>
== Aplicacions ==
[[Fitxer:helicatenoid.gif|miniatura|right|256px|Animació de la transformació isomètrica d'un [[helicoide]] en una [[catenoide]]. La transformació es realitza sense distendre la superfície. Durant el procés, la curvatura gaussiana de la superfície en cada punt es manté constant.]]
Una [[esfera]] de radi ''R'' té curvatura gaussiana constant igual a 1/''R''<sup>2</sup>. D'altra banda, el pla té curvatura gaussiana zero. Com a corol·lari del teorema egregi, un tros de paper no pot desplegar-se damunt d'una esfera sense arrugar-se. Inversament, la superfície d'una esfera no pot desplegar-se damunt d'una superfície plana sense distorsionar-la. Si hom trepitja una closca d'ou buida, la closca no s'aplanarà sense deformació. Matemàticament, una esfera i un pla no són [[isometria|isomètrics]], ni globalment ni local. Això és un fet significatiu per a la [[cartografia]]: implica que no es pot produir un mapa pla perfecte de la Terra, ni tan sols per una part de la superfície de la Terra. Per tant, les [[projecció cartogràfica|projeccions cartogràfiques]] distorsionen necessàriament almenys les distàncies.<ref>Les aplicacions en [[geodèsia]] foren una de les motivacions principals per a les «investigacions en superfícies corbes» de Gauss.</ref>
Una [[catenoide]] i un [[helicoide]] són dues superfícies d'aparença molt diferent. Tanmateix, una es pot desplegar contínuament sobre l'altra: són localment isomètriques. Com a conseqüència del teorema egregi, quan es fa aquest desplegament la curvatura gaussiana de cada parell de punts de l'helicoide i la catenoide és sempre la mateixa. Per tant, una isometria és simplement la flexió i torsió d'una superfície sense compressió, distensió ni esquinçament.
Una aplicació del teorema egregi pot observar-se quan un objecte pla es doblega en una direcció i crea rigidesa en la direcció perpendicular. Això té aplicacions pràctiques en la construcció, i també en una manera habitual de menjar [[pizza]]. Podem dir que un tros de pizza és una superfície plana amb curvatura gaussiana constant zero, i si la dobleguem lleugerament ha de mantenir la curvatura (assumint que el doblec és una isometria local). En cada punt del doblec es crea una [[curvatura principal]] diferent de zero, fent que l'altra curvatura principal en aquests punts sigui zero. Això crea rigidesa en la direcció perpendicular al doblec, la qual cosa és convenient per menjar el tros de pizza, perquè en manté la forma i evita que s'escorrin els ingredients. El mateix principi es fa servir per reforçar els materials corrugats, com ara el [[cartó ondulat]] o el [[ferro corrugat]],<ref>[https://www.wired.com/2014/09/curvature-and-strength-empzeal/ wired.com]</ref> i en algunes formes de [[patates xips]].
== Referències ==
| |||