Espai mètric: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m Bot elimina espais sobrants |
||
Línia 1:
{{FR|data=maig de 2020}}
En [[matemàtiques]], un '''espai mètric''' és un [[conjunt]] <math>X</math> dotat d'una [[funció]] de [[distància]] (o mètrica) <math>d</math> entre totes les parelles d'elements de <math>X</math>.
== Definició formal ==
Línia 18:
|-
|3.
|<math>d(x,y)
|simetria
|-
Línia 64:
# <math>B_r(p)\not= \emptyset</math>
# Sigui <math>q \in B_{r}(p)</math>. Aleshores, <math>\exists s\in \reals^+ \ | \ B_s(q) \sube B_r(p)</math>. Dit d'altra manera, donat un punt qualsevol <math> q</math> de la bola oberta <math>B_r(p)</math>, és possible trobar un radi <math>s</math> prou petit tal que la bola oberta <math>B_s(q)</math> està continguda en <math>B_r(p)</math>.
# Siguin <math>B_r(p)</math> i <math>B_s(q)</math> tals que <math>B_{r}(p) \cap B_{s}(q) \not= \emptyset </math>, i sigui <math>z\in{\displaystyle B_{r}(p)}
==== Demostracions de les propietats ====
Línia 79:
==== Propietats dels oberts ====
# <math>\empty, X </math> són oberts
# Sigui <math>\{U_i\}_{i\in I}</math> una família arbitrària d'oberts. Aleshores,
# Sigui <math>\{U_i\}_{i\in I}</math> una famïlia finita d'oberts. Aleshores,
==== Demostració de les propietats ====
# Donat que <math>\empty</math> no té elements, és obert (tots els seus elements compleixen la definició, ja que no en té). Qualsevol bola oberta, per definició, està continguda en <math>X</math>, i per tant, <math>X</math> és un obert.
# <math>x \in {\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}} </math> si i només si <math>\exist \alpha \in I </math> tal que <math>x \in U_\alpha</math>. Aleshores, com que <math>U_\alpha</math> és un obert, <math>\exist r \in \reals ^+ </math> tal que <math>B_r(x) \sube U_\alpha</math>. <math>\bigcup_{i\in I} U_i</math>és un obert ja que
# <math>x \in {\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}} </math>si i només si <math>x \in U_i</math>, <math>\forall i \in I </math>. Com que els <math>U_i</math> són obert, per a cadascun d'ells, <math>\exist r_i \in \reals ^+ </math> tal que <math>B_r(x) \sube U_i</math>. Prenent <math>r = min\{r_i\}_{i\in I}</math>, es té que <math>B_r(x) \sube B_{r_i}(x) \sube U_i
Cal notar que en la demostració de la propietat 3, la finitud de la famíia d'oberts es demana per a assegurar l'existència del mínim dels radis. Un contraexemple fàcil per veure que amb una família infinita pot no complir-se la propietat 3 és prendre com a conjunt els nombres reals dotats amb la distància euclidiana, i com a família infinita d'oberts <math>\{(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})\}_{n\in \mathbb{N}}</math>. Aleshores, la intersecció <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}}(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = \{ 0\}</math> no és un obert.
Línia 91:
Són fàcils de demostrar, ja que només cal fer el pas al complementari.
# <math>\empty, X </math> són tancats.
# Sigui <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> una família finita de tancats. Aleshores,
# Sigui <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> una família arbitrària de tancats. Aleshores,
==== Oberts (o tancats) en espais topològics ====
Línia 111:
Demostració:
<math>\Rightarrow</math>) Suposem que <math>f</math> és contínua en <math>p</math>. Com que <math>E</math> és un entorn de <math>f(p)</math>, existeix un
<math>B_\delta(p) \sube f^{-1} \biggl(B_\epsilon \big(f(p)\big) \bigg) \sube f^{-1}(E)</math>.
| |||