Usuari:Freutci/absContinua

En Matemàtiques es defineix la continuïtat absoluta d'una funció real definida en un interval tancat com una propietat més forta que la continuïtat ordinària, la continuïtat uniforme i la variació afitada. Aquest concepte permet lligar les nocions de derivada i d'integral (de Lebesgue), ja que una funció és absolutament contínua si i només si és la integral (Lebesgue) de la seva derivada. Aquesta noció és important en Teoria de la mesura i en Probabilitats.

Definició

Es diu que una funció $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ és absolutament contínua si donat qualsevol $\varepsilon >0$ existeix $\delta >0$ tal que per qualsevol família finita d'intervals oberts disjunts dos a dos $(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{n},b_{n})\subset [a,b]$ tals que

$$\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})<\delta ,$$

tenim que

$$\sum _{i=1}^{n}\vert f(b_{i})-f(a_{i})\vert <\varepsilon .$$

Exemples

Natanson, J. P.. «IX». A: Theory of Functions of a Real Variable. New York: Frederick Ungar, Publishing Co., 1964.