Usuari:Freutci/absContinua: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
En Matemàtiques es defineix la continuïtat absoluta d'una funció real de variable real com una propietat més forta que la continuïtat i la variació afitada. Una funció absolutament contínua queda caracteritzada
== Definició ==
Línia 9:
==== Propietats de continuïtat i derivabilitat ====
Sigui <math>f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}</math> absolutament contínua. Aleshores:
: '''1.''' <math>f</math> és contínua
: '''2.'''<math>f</math> té variació afitada. ▼
: '''3.'''<math>f</math> té derivada finita en quasi tots els punts (Lebesgue) i la derivada és integrable Lebesgue.▼
: '''4.'''Si la derivada <math>f'</math> compleix que <math>f'(x)=0, \text{quasi per tot } x \in[a,b]</math> , aleshores <math>f</math> és constant.▼
==== Relació amb les integrals indefinides de Lebesgue ====▼
▲<math>f</math> té variació afitada.
Recordem que donada una funció <math>g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}</math> integrable de Lebesgue, s'anomena integral indefinida (de Lebesgue)
El resultat fonamental sobre funcions absolutament contínues és que
▲<math>f</math> té derivada finita en quasi tots els punts (Lebesgue) i la derivada és integrable Lebesgue.
'''Teorema {{Sfn|Royden|1988|p=110}}.''' Una funció '''<math>f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}</math>''' és absolutament contínua si i només si és una integral indefinida;
▲Si la derivada <math>f'</math> compleix que <math>f'(x)=0, \text{quasi per tot } x \in[a,b]</math> , aleshores <math>f</math> és constant.
'''<math display="block">f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)\, dt.</math>'''
▲==== Relació amb les integrals indefinides de Lebesgue ====
▲Recordem que donada una funció <math>g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}</math> integrable de Lebesgue, s'anomena integral indefinida (de Lebesgue) {{Sfn|Natanson|1964|p=252}} {{Sfn|Royden|1988|p=104}}de <math>g</math> a la funció <math>f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}</math> definida per <math display="block">F(x)=\int_a^x f(t)\, dt.</math>Aquesta funció <math>f</math> és {{Sfn|Royden|1988|p=105-107}} contínua, de variació afitada i derivable en quasi tots els punts i <math>f'(x)=g(x),\ \text{quasi per tot } x.</math>
▲El resultat fonamental sobre funcions absolutament contínues és que el recíproc d'aquesta propietat també és veritat:
▲'''Teorema {{Sfn|Royden|1988|p=110}}.''' Una funció '''<math>f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}</math>''' és absolutament contínua si i només si és una integral indefinida de la forma '''<math display="block">f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)\, dt.</math>'''
== Exemples ==
: '''1.''' La [[funció de Cantor]] <math>F:[0,1]\longrightarrow [0,1]</math> és contínua, amb derivada 0 en quasi tots el punts. Contradiu la propietat 4 que hem vist anteriorment. Però , a més, és clar que <math>F(x)\ne \int_0^x F(t)\, dt</math>, ja que aquesta integral és zero. per tant, la funció de Cantor és contínua però no absolutament contínua.
: '''1.''' Natanson {{Sfn|Natanson|1964|p=216}} demostra que la funció <math display="block">f(x)=\begin{cases}x\, \cos \frac{\pi}{2x}, & \text{si } 0<x\le 1,\\
0, & \text{si } x=0,
\end{cases}</math>és contínua però no té variació finita. per tant, no pot ser absolutament contínua.
==Notes==
<references />
==Referències==
*{{Ref-llibre▼
▲{{Ref-llibre
|títol=Measure theory and probability theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/209923234|editorial=Springer
|data=2006
Linha 46 ⟶ 45:
|cognom=Athreya}}
*{{Ref-llibre▼
▲{{Ref-llibre
|cognom=Natanson
|nom=J. P.|títol=Theory of Functions of a Real Variable
Linha 53 ⟶ 51:
|editorial=Frederick Ungar, Publishing Co.|lloc=New York|capítol=IX}}
*{{Ref-llibre|edició=3rd ed|títol=Real analysis|url=https://www.worldcat.org/oclc/15055353|editorial=Macmillan▼
▲{{Ref-llibre|edició=3rd ed|títol=Real analysis|url=https://www.worldcat.org/oclc/15055353|editorial=Macmillan
|data=1988
|lloc=New York|isbn=0-02-404151-3|nom=H. L.
|cognom=Royden}}
| |||