Variable aleatòria: diferència entre les revisions

Donada una variable aleatòria general <math>X</math> la seva [[funció de distribució]] <ref name=":2">{{Ref-llibre|edició=1a ed|títol=Fonaments d'estadística|url=https://www.worldcat.org/oclc/802486148|editorial=Teide|data=1974|lloc=Barcelona|isbn=8430773495|cognom=Bonet, Eduard.|nom=|llengua=Català|pàgines=p. 133}}</ref> és la funció <math>F:{\mathbb R} \to [0,1]</math> definida per<math>F(x)=P(X\le x).</math> Aquest funció permet unificar l'estudi de diverses propietats de les variables aleatòries (vegeu la secció Definició formal de variable aleatòria).

Entre les variables aleatòries que poden prendre un nombre de valors que no es poden enumerarnumerable, per exemple, una variable que pugui prendre qualsevol nombre real, tenen especial importància les variables aleatòries que tenen funció de densitat, que informalment també s'anomenen variables aleatòries contínues.

Una variable aleatòria es diu que té densitat o que és '''absolutament contínua''' (detambé fet,es s'hauriadiu deque dirés '''absolutament contínua o variable contínua amb densitat)''') si existeix una funció <math>f:{\mathbb R} \to {\mathbb R} </math> que compleix

Hi ha variables aleatòries que són una combinació dels dos tipus anteriors. Per exemple, considerem un mecanisme aleatòri com el de la Figura 6: si l'agulla va a parar a la zona de l'esquerra (àrea grisa) aleshores s'obté un 0; si va a parar a la zona de la dreta, aleshores s'obté un númeronombre decimal entre 0 i 1 amb distribució uniforme. Anomenen <math>X</math> el resultat, que és una variable aleatòria que pot prendre un nombre no numerable de valors, i per tant no és discreta, però d'altra banda <math>P(X=0)=0.5</math>, i tampoc és contínua. Notem que per a <math display="inline">(a,b)\subset(0,1)</math>,<math display="block">P(a\le X\le b)=\frac{1}{2}(b-a).</math>En particular, per <math>x\in(0,1), P(X\le x)=\frac{x}{2}.</math> Aleshores la funció de distribució <math>F(x)=P(X\le x)</math> valdrà: