Usuari:Freutci/distribucio: diferència entre les revisions

Tal com hem comentat, una funció de distribució només té un nombre finit o infinit numerable de punts de discontinuïtat. Designem aquest conjunt per <math>D=\{x_i,\, i\in I\}</math>, amb <math>I\subset \mathbb{N}</math>, i per <math>d_i</math> el salt de la funció <math>F</math> en el punt <math>x_i</math>: <math display="block">d_i=F(x_i)-F(x_i^-).</math>Definim

Es diu que <math>\widetilde F_d</math> és una funció ''discreta'' o ''de salts'' o ''purament discontínua''.

Tenim que <math>\widetilde F_d</math> compleix les propietats 1,2 i 3 de la definició de funcions de distribució, excepte que <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=c\le 1</math> . Quan <math>c=1</math> aleshores la variable aleatòria <math>X</math> és discreta i <math>\widetilde F_d=F</math>, i tal com hem comentat, es diu que és una '''funció de distribució discreta.''' Quan <math>c<1</math> direm que <math>\widetilde F_d</math> és una ''funció de distribució defectiva'' (o impròpia).

Definim ara<math display="block">\widetilde F_c(x)=F(x)-\widetilde F_d(x).</math>Llavors <math>\widetilde F_c</math> també és una funció de distribució, defectiva, si <math>\widetilde F_d\not \equiv 0</math> . Però, a més, com que hem eliminat totes les discontinuïtats de <math>F</math>, tenim que <math>\widetilde F_c</math> és contínua: en tot punt <math>x</math> , <math>\widetilde F_c(x)=\widetilde F_c(x^-).</math>

'''Propietat.''' Tota funció de distribució descomposa de forma única en suma de dues funcions de distribució (defectives), <math display="block">F=\widetilde F_c+\widetilde F_d,</math>on <math>\widetilde F_c</math> és contínua i <math>\widetilde F_d</math> una funció de saltsdiscreta.

De fet, es poden normalitzar les funcions <math>\widetilde F_c</math> i <math>\widetilde F_d</math> per tal d'obtenir una descomposició amb funcions de distribució: Suposem que <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=c\in (0,1).</math> Definim <math display="block">F_d=\frac{1}{c}\, \widetilde F_d \quad \text{i}\quad F_c=\frac{1}{1-c}\, \widetilde F_c, </math>que són ambdues funcions de distribució. Quan <math>c=0</math> llavors prenem <math>\ F_c=F</math>, i <math>F_d</math> qualsevol funció de distribució discreta (no intervindrà enlloc), i quan <math>c=1</math> llavors prenem <math>F_d=F </math> . i <math>F_c</math> qualsevol funció de distribució contínua (tampoc intervindrà enlloc).

Considerem una funció <math>h:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}</math> monòtona creixent. Aleshores un conegut teorema de Lebesgue {{sfn|Royden|1988\p=100}} afirma que es pot derivar en quasi tots els punts (Lebesgue) , la funció derivada <math>h'</math> és mesurable (lebesgueLebesgue) i per qualsevol <math>a<b</math> , <math display="block">\int_a^b h'(x)\, dx\le h(b)-h(a),</math>on a l'esquerra hi ha una integral de Lebesgue.

'''Observació.''' Qualsevol funció de distribució esglaonada (per exemple, la d'una variable binomial o Poisson) és singular. El que és interessant és que existeixen distribuciónsdistribucions contínues singulars: després en veurem un exemple.

i llavors tenim <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{sd}+\gamma F_{s}, </math>on <math display="block">\alpha=1-c,\quad \beta=c\, d\quad \text{i}\quad \gamma=c\,(1-d).</math> Fem uns convenis a la primera descomposició quan <math>c</math> i <math>d</math> són 0 o 1.

*: - Si <math>\alpha=0 \ \text{i}\ \gamma=0</math> llavors <math>F</math> és una funció de distribució absolutament contínua.

*: - Si <math>\alpha=0 \ \text{i}\ \beta=0</math> llavors <math>F</math> és una funció de distribució singular contínua.