Funció de distribució: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Numeració de les figures |
Afegir exemples i referències. Afegir una secció sobre descomposició de funcions de distribució |
||
Línia 1:
[[Fitxer:Normal Distribution CDF.svg|miniatura|<center>Figura 1. Funció de distribució de la distribució normal.</center>]]
[[Fitxer:Normal Distribution PDF.svg|miniatura|<center>Figura 2. Funció de densitat de probabilitat per a diverses distribucions normals. La corba vermella segueix la distribució normal estàndard, amb mitjana zero i variància la unitat.</center>]]
En [[teoria de la probabilitat]] i [[estadística]], la '''funció de distribució''' (també '''funció de distribució''' '''acumulada''', o '''CDF''' pel seu acrònim en anglès '''cumulative distribution function''') d'una [[variable aleatòria]]
X </math> real, avaluada en x </math>, és la [[probabilitat]] que <math>X</math> prengui un valor inferior o igual a <math>x</math>. La funció de distribució determina totes les probabilitats relatives a la variable aleatòria. Les funcions de distribució són importants perquè són funcions ordinàries, en contrast amb les probabilitats, que són funcions de conjunts, i llavors les eines de l'Anàlisi matemàtica clàssica poden aplicar-se a estudiar les probabilitats corresponents a les variables aleatòries. En el cas de les distribucions absolutament contínues, la funció de distribució en el punt <math>x</math> és igual a l'[[Integral de Lebesgue|àrea]] sota la [[funció de densitat de probabilitat]] de menys infinit a <math>x</math>. Les funcions de distribució multidimensionals o multivariants serveixen per especificar les probabilitats dels [[Vector aleatori|vectors aleatoris]] o [[vector aleatori|variables aleatòries multivariades]].
== Definició ==
Considerem un [[espai de probabilitat]] <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math>.
{{Teorema|1='''Definició.''' La funció de distribució {{Sfn|Sanz|1999|p=42}} d'una [[variable aleatòria]] <math>X</math> real és la funció <math>F:\mathbb{R}\longrightarrow [0,1]</math> definida per: <math display="block">F(x) = P(X\leq x)=P\big(X\in (-\infty,x]\big). \qquad (*) </math>}}
'''Observació.''' Alguns autors {{Sfn|Loeve|1976|p=167}} defineixen la funció de distribució canviant a l'expressió (*) el menor o igual per un menor estricte: <math>P(X<x)</math>. El conveni que hem adoptat és el més habitual actualment. Cal tenir-ho present, ja que l'ús correcte de les taules de les variables discretes com les de la [[distribució binomial]] o la [[distribució de Poisson|de Poisson]] depèn d'aquest conveni. És més, fórmules importants com la fórmula d'inversió de [[Paul Lévy]] per a la [[Funció característica (teoria de la probabilitat)#Teorema d'inversió|funció característica]] també es basen en aquesta formulació.
Linha 17 ⟶ 21:
== Propietats ==
Totes aquestes propietats es troben demostrades, per exemple, a {{Sfn|Sanz|1999|pp=43-47}}
: '''1.''' <math>F</math> és una funció monòtona no decreixent: si <math>x<y</math> aleshores <math>F(x)\le F(y)</math>.
: '''2.''' <math>F</math> és contínua per la dreta.
: '''3.''' <math>\lim_{x\to -\infty}F(x)=0 \quad \text{i}\quad \lim_{x\to +\infty}F(x)=1.</math>
'''Observacions'''
:: (a) Aquestes tres propietats són importants perquè caracteritzen les funcions de distribució de les variables aleatòries: Donada una funció que compleixi aquestes tres propietats, llavors és la funció de distribució d'una variable aleatòria, és a dir, es pot construir un espai de probabilitat i definir-hi una [[variable aleatòria]] que tingui aquesta funció com a funció de distribució.
:: (b) Quan la funció de disribució es defineix per <math>P(X<x)</math> , aleshores la funció és contínua per l'esquerra {{Sfn|Loeve|1976|p=167}}.
<br>
: '''4.''' Degut a que <math>F</math> és monótona, en tot punt existeix el límit per l'esquerra {{Sfn|Chung|2001|p=2}}. El límit per l'esquerra en el punt <math>x</math> el designarem per <math>F(x^-)</math>:
<math display="block"> F(x^-)=\lim_{s\uparrow x}F(s).</math>
Linha 42 ⟶ 34:
:: (b) <math display="block"> P\big(X\in (-\infty, x)\big)=P(X<x)=F(x^-),</math>
on <math>F(x^-)</math> és el límit per l'esquerra de <math>F</math> en el punt <math>x</math>.
:: (c) <math display="block"> P\big(X=x\big)=F(x)-F(x^-),</math>
és a dir, <math> F</math> té una discontinuïtat al punt <math> x</math> si només si <math>P\big(X=x\big)>0 </math>.
Linha 48 ⟶ 39:
:: (e) <math display="block"> P\big(X\in [s,t)\big)=P(s\le X< t)=F(t^-)-F(s^-).</math>
<br>
: '''
== Funcions de distribució de variables discretes, absolutament contínues i mixtes ==
=== Funció de distribució d'una variable discreta ===
Si ''X'' és una [[Variable aleatòria#Tipus de variables aleatòries|variable aleatòria discreta]], que pren valors <math>x_1,x_2\dots</math> amb probabilitats <math>
:<math display="block">F(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i).</math>Es diu que
'''Exemple.'''
Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb c i una creu amb s. Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares (cc), una cara seguida d'una creu (cs), una creu seguida d'una cara (sc) i dues creus (ss). Així,<center>
<math>
\Omega=\{cc,cs,sc,ss\}.
</math>
</center>Sigui X la variable aleatòria que compta el nombre de cares obtingudes en el llançament. És a dir, X és la següent funció:<center>
<math>
X:\Omega\to {\mathbb R}
</math>
</center>donada per
: <math> X(cc) = 2 </math>
: <math> X(cs) = X(sc) = 1 </math>
: <math> X(ss) = 0 </math>
És una variable discreta, ja que només pot prendre els valors 0, 1 i 2.
[[Fitxer:Funció_probabilitat-Exemple.pdf|alt=Exemple de la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta|miniatura|Figura 4. Funció de probabilitat]]
La funció de probabilitat és <math> p(0)=1/4,\, p(1)=2/4 \ \text{i}\ \ p(2)=1/4 </math>, i <math>p(x)=0</math> per a <math>x\not\in\{0,1,2\}</math>. Vegeu la Figura 4.
La funció de distribució ve donada per<center>
<math>
F(x)=\begin{cases}
0,& \text{si}\ x<0,\\
0.25,& \text{si}\ 0\le 0 <1,\\
0.75, & \text{si}\ 1\le 0 <2,\\
1,& \text{si}\ x\ge 2.
\end{cases}
</math>.
</center>
[[Fitxer:Funció_distribució_Exemple.pdf|alt=Exemple de la funció de distribució d'una variable discreta|miniatura|Figura 5. Funció de distribució.]]
Vegeu la Figura 5.<br>
'''Observació.''' A l'exemple anterior, així com en els casos més habituals, com la distribució binomial o la de Poisson, la funció de distribució és [[Funció esglaonada|esglaonada]], però en general no és així. El següent exemple és de Loeve {{Sfn|Loeve|1976|p=177}}: sigui <math>r_1,r_2,\dots</math> una ordenació dels nombres racionals, i sigui <math>X</math> una variable aleatòria tal que
<math display="block">P(X=r_n)=\frac{6}{\pi^2}\,\frac{1}{n^2}.</math> Aleshores la corresponent funció de distribució no és esglaonada; de fet, ni tan sols es pot dibuixar. (Recordeu que <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}</math>, on <math>\zeta</math> és la funció zeta de Riemann{{sfn|Olver|2010|p=605|loc=Fórmula 25.6.1}}.)
=== Funció de distribució d'una variable absolutament contínua ===
Recordem que una variable aleatòria <math> X</math> es diu que és '''absolutament contínua''' o que té [[Variable aleatòria#Tipus de variables aleatòries|'''densitat''']] (també que és '''contínua)''', si existeix una funció <math>f:{\mathbb R} \to {\mathbb R} </math> que compleix
: '''1.''' <math display="inline">f(x)\ge 0, \forall x\in {\mathbb R}.</math>
<br>
: '''2.''' <math>f</math> és integrable i <math display="inline">\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, dx =1.</math> és a dir, l'àrea total entre la gràfica de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1. Vegeu la Figura
<br>
: '''3.''' Per a <math> -\infty \le a \le b \le +\infty</math>,
<math display="block"> P( a \le X \le b)= \int_a ^b f(t)\, dt.</math>És a dir, la probabilitat que la variable prengui un valor de l'interval <math>[a\ , b]</math> és l'àrea de la zona limitada pel gràfic de la funció<math>f</math>, l'eix de les x i l les rectes x=a i x=b.Vegeu la Figura
[[Fitxer:Funcio_densitat_exemple_Probab.pdf|alt=Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat|miniatura|Figura
Llavors,
<math display="block">F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt</math>Vegeu a la Figura 1 quatre funcions de distribució de variables normals i a la Figura 2 les corresponents funcions de densitat.
=== Funció de distribució d'una variable aleatòria de tipus mixt ===
[[Fitxer:Ruleta_mixta.pdf|alt=Mecanisme aleatori que genera una variable aleatòria mixta|miniatura|Figura
Hi ha variables aleatòries que són una combinació dels dos tipus anteriors. Per exemple, considerem un mecanisme aleatòri com el de la Figura
<math display="block">
F(x)=\begin{cases}
0,& \text{si}\ x<0,\\
\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{2},
\end{cases}
</math>Vegeu la Figura
<br />
Linha 103 ⟶ 123:
1 &:\ x \ge 1.
\end{cases}</math>
== Descomposició de funcions de distribució ==
En aquesta secció estudiarem l'estructura de les funcions de distribució, però partint directament d'aquestes funcions, és a dir, de les funcions que compleixen les propietats 1,2 i 3 de la secció [[#Propietats|Propietats]], i recuperarem, des d'un punt de vista més general, allò que hem estudiat a la secció [[#Funcions de distribució de variables discretes, absolutament contínues i mixtes|Funcions de distribució de variables discretes, absolutament contínues i mixtes]].
=== Primera descomposició ===
Tal com hem comentat, una funció de distribució només té un nombre finit o infinit numerable de punts de discontinuïtat; sigui <math>D=\{x_i,\, i\in I\}</math>, amb <math>I\subset \mathbb{N}</math> el conjunt de punts de discontinuïtat de la funció de distribució <math>F</math>, i designem per <math>d_i</math> el salt de la funció <math>F</math> en el punt <math>x_i</math>:<math display="block">d_i=F(x_i)-F(x_i^-).</math> Definim
<center><math>\widetilde{F}_d(x)=\sum_{i: \, x_i\le x} d_i.</math></center>
La funció <math>\widetilde F_d</math> compleix les propietats 1,2 i 3 de la definició de funcions de distribució, excepte que <math display="block">\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=\sum_{i\in I} d_i= c\le 1.</math>Quan <math>c=1</math> aleshores es diu que la '''funció de distribució és discreta'''; concretament,
{{teorema|1='''Definició.''' Es diu que <math>\widetilde F_d</math> és una '''funció de distribució discreta''' o '''de salts''' o '''purament discontínua''' si <math>\widetilde F_d=F</math>, és a dir, si <math>\sum_{i\in I} d_i=1.</math>}}
Quan <math>c<1</math> direm que <math>\widetilde F_d</math> és una ''funció de distribució defectiva'' (o impròpia).
Definim ara<math display="block">\widetilde F_c(x)=F(x)-\widetilde F_d(x).</math>Llavors <math>\widetilde F_c</math> també és una funció de distribució, defectiva, si <math>\widetilde F_d\not \equiv 0</math> . Però, a més, com que hem eliminat totes les discontinuïtats de <math>F</math>, tenim que <math>\widetilde F_c</math> és contínua: en tot punt <math>x</math>, <math>\widetilde F_c(x)=\widetilde F_c(x^-).</math>
<br>
'''Propietat.''' Tota funció de distribució es descompon de forma única en suma de dues funcions de distribució (potser defectives), <math display="block">F=\widetilde F_c+\widetilde F_d,</math>on <math>\widetilde F_c</math> és contínua i <math>\widetilde F_d</math> una funció discreta.
Podem normalitzar les funcions <math>\widetilde F_c</math> i <math>\widetilde F_d</math> per tal d'obtenir una descomposició amb funcions de distribució: Suposem que <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=c\in (0,1).</math> Definim <math display="block">F_d=\frac{1}{c}\, \widetilde F_d \quad \text{i}\quad F_c=\frac{1}{1-c}\, \widetilde F_c, </math>que són ambdues funcions de distribució. Quan <math>c=0</math> llavors prenem <math>\ F_c=F</math>, i quan <math>c=1</math> llavors prenem <math>F_d=F </math> .
{{teorema|1='''Teorema'''{{sfn|Chung|2001|p=10}} {{sfn|Athreya|2006|p=47}}. Sigui <math>F</math> una funció de distribució. Aleshores <math>F</math> es descompon de forma única com a suma d'una funció de distribució contínua i una funció de distribució discreta: <math display="block">F=c\, F_c+(1-c)\, F_d,</math>on <math>c\in [0,1]</math>.}}
===Funcions de distribució singulars===
Considerem una funció <math>h:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}</math> monòtona creixent. Aleshores un conegut teorema de Lebesgue {{sfn|Royden|1988\p=100}} afirma que <math>h</math> es pot derivar en quasi tots els punts (Lebesgue) , la funció derivada <math>h'</math> és mesurable (Lebesgue) i per qualsevol <math>a<b</math> , <math display="block">\int_a^b h'(x)\, dx\le h(b)-h(a),</math>on a l'integral és una integral de Lebesgue.
Llavors, una funció de distribució té derivada en quasi tots punts.
{{teorema|1='''Definició.''' Direm que una funció de distribució <math>F</math> és singular si <math>F'(x)=0</math> en quasi tots els punts.}}
'''Observació.''' Qualsevol funció de distribució esglaonada (per exemple, la d'una variable binomial o Poisson) és singular. El que és interessant és que existeixen distribucions contínues singulars: per exemple, la [[distribució de Cantor]] construïda a partir de la [[funció de Cantor]] té una funció de distribució que és contínua, però la seva derivada és zero quasi en tots els punts. Es tracta d'una funció de distribució singular.
=== Funcions de distribució absolutament contínues ===
Recordem que una funció <math>G:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}</math> es diu que és '''[[Funció absolutament contínua|absolutament contínua]]''' {{Sfn|Billingsley|1986|p=433}} si donat qualsevol <math>\varepsilon>0</math> existeix <math>\delta>0</math> tal que per qualsevol família finita d'intervals oberts disjunts dos a dos <math>(a_1,b_1),\dots, (a_n,b_n)</math> tals que<math display="block">\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)<\delta,</math> es té que <math display="block">\sum_{i=1}^n\vert G(b_i)-G(a_i)\vert < \varepsilon.</math>
Les funcions de distribució que compleixen la propietat anterior es poden identificar amb les integrals indefinides de Lebesgue. Concretament tenim
{{Teorema|1='''Teorema {{Sfn|Billingsley|1986|p=434|loc= Theorem 31.8}}.''' Una funció de distribució és absolutament contínua si i només sí
<center><math>F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\, dt,</math></center>
per a una funció <math> f\ge 0</math> integrable (Lebesgue), que s'anomena una '''funció de densitat'''. La funció de densitat <math>f</math> és única quasi en tot punt (Lebesgue); en altres paraules, si <math>g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}</math> és mesurable, i <math>f(x)=g(x)</math> quasi per tot <math>x</math> (Lebesgue), aleshores <math>g</math> també és una funció de densitat de <math>F</math> . Es pot prendre <math>f=F'</math>}}
Evidentment, aquest teorema també val per funcions de distribució defectives.
=== Segona descomposició ===
Continuant amb les notacions de la primera descomposició, suposem que la part contínua no és nul·la: <math>\widetilde F_c\not\equiv 0</math> i considerem la seva derivada <math>\widetilde F'_c</math> . Definim la component absolutament contínua de <math>F</math> per <math display="block">\widetilde F_{ac}(x)=\int_{-\infty}^x \widetilde F'_c(t)\, dt.</math>Finalment, definim la component singular <math>F</math> per <math display="block">\widetilde F_s=\widetilde F_c-\widetilde F_{ac}.</math>Cal notar que <math>\widetilde F_s</math> és contínua singular. Ajuntant-ho amb la primera descomposició tenim:
'''Propietat.''' Tota funció de distribució es descompon de forma única en suma de tres funcions de distribució (potser defectives),<math display="block">F=\widetilde F_d+\widetilde F_{ac}+\widetilde F_s,</math>on <math>\widetilde F_d</math> és una funció discreta, <math>\widetilde F_c</math> absolutament contínua i <math>\widetilde F_s</math> és contínua singular.
Igual que hem fet amb la primera descomposició, si suposem <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=c\in (0,1)</math> i <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_{ac}(x)=d\in (0,1)</math> podem definir <math display="block">F_{sd}=\frac{1}{d}\, \widetilde F_{sd} \quad \text{i}\quad F_s=\frac{1}{1-d}\, \widetilde F_s, </math>
i llavors tenim <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{ac}+\gamma F_{s}, </math>on <math display="block">\alpha=1-c,\quad \beta=c\, d\quad \text{i}\quad \gamma=c\,(1-d).</math> Fem uns convenis anàlegs als de la primera descomposició quan <math>c</math> i <math>d</math> són 0 o 1. Tenim:
{{Teorema|1='''Teorema'''{{sfn|Chung|2001|p=12}} {{sfn|Athreya|2006|p=134}}. Sigui <math>F</math> una funció de distribució. Aleshores <math>F</math> es descompon de forma única com a suma de tres funcions de distribució, una discreta, una absolutament contínua i una singular contínua: <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{ac}+\gamma F_{s}, </math> amb <math>\alpha,\,\beta, \,\gamma \ge 0</math> i <math>\alpha+\beta+\gamma=1</math>.}}
Llavors:
* Si <math>\alpha=1</math> (i naturalment els altres paràmetres 0) llavors <math>F</math> és una funció de distribució discreta.
* Si <math>\alpha=0</math> llavors <math>F</math> és una funció de distribució contínua.
: - Si <math>\alpha=0 \ \text{i}\ \gamma=0</math> llavors <math>F</math> és una funció de distribució absolutament contínua.
: - Si <math>\alpha=0 \ \text{i}\ \beta=0</math> llavors <math>F</math> és una funció de distribució singular contínua.
<br>
'''Exemple.''' Considerem de nou l'exemple que hem vist de la variable aleatòria de tipus mixt. La seva funció de distribució és <math display="block">
F(x)=\begin{cases}
0,& \text{si}\ x<0,\\
\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{2},& \text{si}\ 0\le x\le 1,\\
1,& \text{si}\ x\ge 1.
\end{cases}
</math>(vegeu la Figura 9). Aquesta funció té una discontinuïtat en el punt 0, amb un salt d'altura 1/2. Llavors,
<math display="block">\widetilde F_d(x)=\begin{cases} 0, & \text{si } x<0,\\
\dfrac{1}{2}, & \text{si } x\ge 0.
\end{cases}</math>Notem que es tracta d'una funció de distribució defectiva ja que <math>\lim_{x\to \infty} \widetilde F_d(x)=1/2</math>. La part absolutament contínua és definida per la ''densitat'' (defectiva, ja que la seva integral sobre tot <math>\mathbb{R}</math> no és 1)<math display="block">\widetilde f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2},& \text{si } x\in (0,1),\\
0,& \text{en cas contrari.}
\end{cases}</math>Normalitzant aquestes funcions defectives tenim <math display="block">F(x)=\frac{1}{2} F_d(x)+\frac{1}{2}F_{ac}(x),</math>on <math display="block">F_d(x)=\begin{cases} 0, & \text{si } x<0,\\
1, & \text{si } x\ge 0.
\end{cases}</math>i <math>F_{ac}</math>té funció de densitat <math display="block">f(x)=\begin{cases}1,& \text{si } x\in [0,1],\\
0,& \text{en cas contrari.}
\end{cases}</math>
Així, <math display="block">F_{ac}(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\, dt=\begin{cases} 0, &\text{si } x\le 0,\\
x, &\text{si } x\in (0,1) ,\\
1, &\text{si } x\ge 1.
\end{cases}</math>'''Interpretació probabilística de la descomposició.''' La funció de distribució discreta <math>F_d</math> correspon a una variable aleatòria degenerada en el zero. La funció <math>F_{ac}</math> correspon a una variable uniforme en l'interval <math>(0,1)</math>. Sigui <math>U</math> una variable aleatòria uniforme en l'interval <math>(0,1)</math> i sigui <math>R</math> una variable aleatòria que utilitzarem per triar a l'atzar entre 0 i <math>U</math>, independent d' <math>U</math>; concretament, sigui <math>R</math> de Bernoulli de paràmetre ''p''=1/2, independent de <math>U</math> : <math display="block">P(R=0)=P(R=1)=\frac{1}{2}.</math>Aleshores la variable aleatòria <math display="block">X=\begin{cases} 0,& \text{si } R=0,\\
U,& \text{si } R=1,
\end{cases}</math> té funció de distribució <math>F</math> .
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=Designem per <math>F_X</math> la funció de distribució de <math>X</math>. Volem veure que <math>F_X=F.</math> Si <math>x< 0</math>, és clar que <math>F_X(x)=0</math>, i si <math>x\ge 1</math>, que <math>F_X(x)=1</math>. Per a <math>x\in [0,1)</math> aplicarem el teorema de les probabilitats totals:
<center><math>F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x|R=0)\, P(R=0)+P(X\le x|R=1)\, P(R=1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}P(U\le x)=\frac{1}{2}+\frac{x}{2}.</math>
</center>}}
=== Interpretació probabilística de la descomposició en el cas general ===
Considerem una funció de distribució que es descompon de la forma <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{sd}+\gamma F_{s}, </math>amb <math>\alpha,\, \beta,\, \gamma>0</math> (recordem que <math>\alpha+\beta+\gamma=1</math>) . Siguin <math>X_1,\, X_2 </math> i <math>X_3</math> tres variables independents, <math>X_1</math> (respectivament <math>X_2</math> i <math>X_3</math>) amb funció de distribució <math>F_d</math> (resp. <math>F_{as}</math> i <math>F_s</math>), i <math>S</math> una altra variable aleatòria independent de les anteriors, tal que <math display="block">P(S=1)=\alpha,\ P(S=2)=\beta \ \text{i} \ P(S=3)=\gamma.</math>Aleshores la variable aleatòria <math display="block">X=\begin{cases} X_1,& \text{si } S=1,\\
X_2,& \text{si } S=2,\\
X_3,& \text{si } S=3,
\end{cases}</math>
té funció de distribució <math>F</math>. {{Sfn|Athreya|2006|p=215}}
== Funcions construïdes a partir de la funció de distribució ==
Linha 192 ⟶ 308:
== Referències ==
* {{Ref-llibre
|títol=Measure theory and probability theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/209923234|editorial=Springer
|data=2006
|lloc=New York|isbn=0-387-32903-X|nom=Krishna B.
|cognom=Athreya}}
* {{Ref-llibre
|edició=3rd ed|títol=A course in probability theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/179869682|editorial=Academic Press
Linha 199 ⟶ 322:
|cognom=Chung
}}
* {{Ref-llibre
|títol=Teoría de la probabilidad|url=https://www.worldcat.org/oclc/432496610|editorial=Tecnos
|data=1976
|lloc=Madrid|isbn=84-309-0663-0|nom=Michel
|cognom=Loeve
}}
*
* {{Ref-llibre|edició=3rd ed|títol=Real analysis|url=https://www.worldcat.org/oclc/15055353|editorial=Macmillan
|data=1988
|lloc=New York|isbn=0-02-404151-3|nom=H. L.
|cognom=Royden}}
* {{Ref-llibre
|títol=Probabilitats|url=https://www.worldcat.org/oclc/807622317|editorial=Edicions Universitat de Barcelona
Linha 213 ⟶ 342:
|lloc=Barcelona|isbn=84-8338-091-9|nom=Marta
|cognom=Sanz
}}
[[Categoria:Estadística]]
| |||