Variable aleatòria: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Robot posa data a plantilles de manteniment |
canvis menors i afegir referències |
||
Línia 1:
A l'estudi de molts [[Experiment aleatori|experiments aleatoris]] molt sovint no ens interessa el resultat que s'obté sinó alguna quantitat numèrica relacionada amb ell. Per exemple, quan algú aposta en un joc d'atzar no l'interessa tant conèixer el resultat com el benefici (o la pèrdua) obtingut. Informalment, es defineix '''variable aleatòria''' com una funció que assigna un valor numèric real a cadascun dels resultats possibles d'un experiment aleatori.<br />
<br />▼
== Definició ==
Designem per <math>\Omega</math> el conjunt de resultats possibles d'un [[experiment aleatori]]. Una '''variable aleatòria''' és una aplicació <math>X:\Omega\longrightarrow {\mathbb R}</math>.<ref>{{Ref-llibre|edició=1a ed|títol=Fonaments d'estadística|url=https://www.worldcat.org/oclc/802486148|editorial=Teide|data=1974|lloc=Barcelona|isbn=8430773495|cognom=Bonet, Eduard.|nom=|llengua=Català|pàgines=p. 67}}</ref><ref>''Probabilidad y Estadística''. Morris H. DeGroot, publicado por Addison-Wesley Iberoamericana. (Segunda Edición)</ref>
Es diu "aleatòria" perquè el seu domini és constituït pels resultats d'un experiment influït per l'atzar i se'n diu "variable" perquè pren valors numèrics que varien (d'acord amb la probabilitat). Cal dir, però, que la paraula ''variable'' és una mica confosa, ja que, com hem comentat, una variable aleatòria és una funció o aplicació, i no es correspon al que en altres parts de la matemàtica s'anomena la ''variable d'una funció.''
Linha 17 ⟶ 14:
<math display="block">X=\text{suma dels dos daus}.</math>
D'aquesta manera tenim una aplicació <math>X:\Omega\longrightarrow {\mathbb R}</math>. Per exemple, el resultat <math>(1,3)</math> (és a dir, dau1=1 i dau2=3} tindrà assignat el valor real 4: <math>X(1,3)=4</math>.-
Els valors possibles de la variable aleatòria serien: <math>x_1=2,x_2=3,x_3=4,x_4=5,x_5=6,x_6=7,x_7=8,x_8=9,x_9=10,x_{10}=11,x_{11}=12</math>.
Linha 35 ⟶ 32:
# Una variable aleatòria amb '''[[distribució binomial]],''' que per les seves aplicacions, és una de les més important de les distribucions discretes de probabilitat.
# Una variable aleatòria amb [[distribució de Poisson]] que pot prendre qualsevol nombre natural: 0, 1, 2,... Per tant, pot prendre un nombre infinit numerable de valors.
Moltes variables aleatòries discretes importants prenen valors enters.
==== Funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta. ====
Considerem una variable aleatòria discreta <math>X</math> que
[[Fitxer:Gràfic distribució suma de dos daus.png|miniatura|Funció de probabilitat de la variable aleatòria "suma dels valors del llançament de dos daus"]]'''Exemple.''' En el cas dels dos daus tenim, per exemple, que <math>p(2)=P(X=2)= \frac{1}{36}</math> perquè l'esdeveniment <math>\{X=2\}</math> té com a únic cas favorable {dau1=1 i dau2=1}, és a dir, (1,1). Anàlogament, es calculen els altres valors de la funció de probabilitat:
<math display="block">p(2)= \frac{1}{36},\, p(3)= \frac{2}{36}, \,p(4)=\frac{3}{36},\, p(5)=\frac{4}{36},\, p(6)=\frac{5}{36},\, p(7)= \frac{6}{36},\, p(8)=\frac{5}{36},\,p(9)=\frac{4}{36},\,
p(10)=\frac{3}{36}, \, p(11)=\frac{2}{36},\, p(12)=\frac{1}{36}, </math>i <math display="inline">
p(x)=0 \quad \text{si} \quad x\not\in\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} </math>.
La funció de probabilitat <math>p(x)</math> determina totes les probabilitats relacionades amb <math>X</math>:<math display="block">P(X\in B)=\sum_{i:\, x_i\in B} p(x_i).</math>Continuant amb l'exemple anterior, la probabilitat d'obtenir una suma dels dos daus menor o igual a 7 serà:<math display="block">P(X\le 7)=P\big(X\in\{2,3,4,5,6,7\}\big)=p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)=\frac{1+2+3+4+5+6}{36}=\frac{21}{36}\approx 0,58.</math>
<br>'''Observació.''' Alguns autors <ref>{{Ref-llibre|títol=Probabilitats|url=https://www.worldcat.org/oclc/807622317|editorial=Edicions Universitat de Barcelona|data=1999|lloc=Barcelona|isbn=84-8338-091-9|nom=Marta|cognom=Sanz|pàgines=50}}</ref> defineixen la funció de probabilitat només sobre el conjunt dels possibles valors de la varible: sigui <math>B=\{x_i,\, i\in I\}</math> amb <math>I\subset \mathbb{N}</math> el conjunt finit o infinit numerable on pren valors la variable <math>X</math>. Aleshores defineixen <math>p:B\longrightarrow [0,1]</math> per
'''Funció de distribució d'una variable discreta'''▼
<math display="block">p(x_i)=P(X=x_i).</math>
Això no genera cap dificultat ni confusió.
{{Article principal|Funció de distribució}}
Donada una variable aleatòria general <math>X</math> la seva [[funció de distribució]] <ref name=":2">{{Ref-llibre|edició=1a ed|títol=Fonaments d'estadística|url=https://www.worldcat.org/oclc/802486148|editorial=Teide|data=1974|lloc=Barcelona|isbn=8430773495|cognom=Bonet, Eduard.|nom=|llengua=Català|pàgines=p. 133}}</ref> és la funció <math>F:{\mathbb R} \to [0,1]</math> definida per<math>F(x)=P(X\le x).</math> Aquest funció permet unificar l'estudi de diverses propietats de les variables aleatòries (vegeu la secció Definició formal de variable aleatòria).
En particular, per a una variable discreta , amb les notacions anteriors, la seva funció de distribució vindrà donada per<math display="block">F(x)=P(X\le x)=P(X\in (-\infty,x])=\sum_{i:\, x_i\le x}p(x_i).</math>
Linha 64 ⟶ 63:
</math>
</center>donada per
: <math display="block"> X(cc) = 2,\quad, X(cs)=X(sc)=1 \quad \text{i}\quad X(ss)=0. </math>
El conjunt possibles valors de X és {0, 1, 2}. O sigui, és una variable discreta, ja que només pot prendre els valors 0, 1 i 2.
Linha 73 ⟶ 69:
La funció de probabilitat és <math> p(0)=1/4,\, p(1)=2/4 \ \text{i}\ \ p(2)=1/4 </math>, i <math>p(x)=0</math> per a <math>x\not\in\{0,1,2\}</math>. Vegeu la Figura 1.
La funció de distribució ve donada per
<center> <math>
F(x)=\begin{cases}
Linha 82 ⟶ 79:
\end{cases}
</math>.
</center
[[Fitxer:Funció_distribució_Exemple.pdf|alt=Exemple de la funció de distribució d'una variable discreta|miniatura|Figura 2. Funció de distribució.]]
Vegeu la Figura 2.
=== Variables aleatòries contínues ===
Entre les variables aleatòries que poden prendre un nombre de valors no numerable, per exemple, una variable que pugui prendre qualsevol nombre real, tenen especial importància les variables aleatòries que tenen funció de densitat
Una variable aleatòria es diu que té densitat o que és '''absolutament contínua'''
: '''1.''' <math display="inline">f(x)\ge 0, \forall x\in {\mathbb R}.</math>
<br>▼
: '''2.''' <math>f</math> és integrable i <math display="inline">\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, dx =1.</math> és a dir, l'àrea total entre la gràfica de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1. Vegeu la Figura 3.[[Fitxer:Funcio_densitat_exemple_Area.pdf|alt=L'àrea sota la corba de la funció de densitat és 1|miniatura|Figura 3. L'àrea entre la corba de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1.]]
: '''3.''' Per a <math> -\infty \le a \le b \le +\infty</math>,
[[Fitxer:Funcio_densitat_exemple_Probab.pdf|alt=Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat|miniatura|Figura 4. Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat]]
<math display="block"> P( a \le X \le b)= \int_a ^b f(t)\, dt.</math>És a dir, la probabilitat que la variable prengui un valor de l'interval <math>[a\ , b]</math> és l'àrea de la zona limitada pel gràfic de la funció<math>f</math>, l'eix de les x i l les rectes x=a i x=b.Vegeu la Figura 4.
La funció <math>f</math> s'anomena [[funció de densitat]] de <math>X</math>. La [[funció de distribució]] és<center><math>F(x)=P\{X \le x\}= \int_{-\infty}^x f(t) \, dt,</math></center>i <math>F</math> és [[Funció contínua|contínua]] (de fet és [[Funció absolutament contínua|absolutament contínua]]). Noteu que per a qualsevol valor <math>x\in \mathbb{R}</math><math display="block">P(X=x)=\int_x^xf(t)\,dt=0.</math>
Linha 111 ⟶ 103:
==== Exemples ====
<math display="block">f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si }x\in[a,b] \\ 0 &\text{si } x\notin [a,b] \end{cases}</math>▼
▲<math>f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si }x\in[a,b] \\ 0 &\text{si } x\notin [a,b] \end{cases}</math>
i la funció de distribució és
<math display="block">F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x\leq a \\ \frac{x-a}{b-a} & \text{si }a\leq x \leq b \\ 1&\text{si } x\geq b \end{cases}</math>▼
: '''3.''' Com a exemple de l'anterior podem considerar el següent: Per una parada d'autobussos en passa, amb absoluta regularitat, un cada 10 minuts, Si <math>X</math> representa el temps que ha d'esperar una persona que arriba aleatòriament a la parada, aleshores <math>X</math> té una distribució uniforme a l'interval <math>[0,10]</math> . La funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria <math>X</math> que es mostra al gràfic de la Figura 5.[[Fitxer:Funció densitat autobusos(format jpeg).jpg|miniatura|Figura 5. Funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria "temps espera parada autobusos"]] El valor de f(x) per a l'interval de temps <math>[0\leq x\leq 10]</math> s'ha fixat de manera que l'àrea sota la funció sigui 1. Si una persona arriba a la parada aleatòriament, quina és la probabilitat que hagi d'esperar-se 7 minuts o més? La resposta s'obté calculant l'àrea del rectangle ombrejat. El valor de <math>P(7\leq X)</math> serà, doncs, <math>3\times0,1=0,3</math>.▼
▲<math>F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x\leq a \\ \frac{x-a}{b-a} & \text{si }a\leq x \leq b \\ 1&\text{si } x\geq b \end{cases}</math>
▲<br>
'''Observacions.'''
: '''1.'''Des del punt de vista teòric, les funcions de densitat són [[Funció mesurable|mesurables]] de Borel i les integrals que apareixen són [[Integral de Lebesgue|integrals de Lebesgue]]. Però a la pràtica, gaire bé totes les funcions de densitat són contínues o contínues a trossos, i les integrals es poden considerar integrals de Riemann ordinàries. <ref>{{Ref-llibre|edició=2nd ed|títol=Probability and measure theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/42622245|editorial=Harcourt/Academic Press|data=2000|lloc=San Diego|isbn=0-12-065202-1|nom=Robert B.|cognom=Ash|pàgines=57}}</ref>
▲3. Com a exemple de l'anterior podem considerar el següent: Per una parada d'autobussos en passa, amb absoluta regularitat, un cada 10 minuts, Si <math>X</math> representa el temps que ha d'esperar una persona que arriba aleatòriament a la parada, aleshores <math>X</math> té una distribució uniforme a l'interval <math>[0,10]</math> . La funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria <math>X</math> que es mostra al gràfic de la Figura 5.[[Fitxer:Funció densitat autobusos(format jpeg).jpg|miniatura|Figura 5. Funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria "temps espera parada autobusos"]]
: '''2.''' Les funcions de densitat no són úniques, i es poden modificar sobre un conjunt finit o infinit numerable de punts (de fet, sobre un conjunt de mesura de Lebesgue zero). Per exemple, retornan a l'exemple 2, la funció <math display="block">f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si }x\in(a,b), \\ 0 &\text{en cas contrari}, \end{cases}</math>
=== Variables aleatòries mixtes ===
| |||