Variable aleatòria: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi
Reestructurar les notes i les referències. Afegir comentaris i exemples
Línia 2:
 
== Definició ==
Designem per <math>\Omega</math> el conjunt de resultats possibles d'un [[experiment aleatori]]. Una '''variable aleatòria''' és una aplicació <math>X:\Omega\longrightarrow {\mathbb R}</math>.<ref>{{Ref-llibresfn|edició=1a edBonet|títol=Fonaments d'estadística|url=https://www.worldcat.org/oclc/802486148|editorial=Teide|data=1974|llocp=Barcelona67}}{{Sfn|isbn=8430773495DeGroot|cognom=Bonet, Eduard.1988|nomp=|llengua=Català|pàgines=p. 6793}}</ref><ref>''Probabilidad y Estadística''. Morris H. DeGroot, publicado por Addison-Wesley Iberoamericana. (Segunda Edición)</ref> Vegeu la definició formal a la secció [[#Definició formal de variable aleatòria|Definició formal de variable aleatòria]]. Quant a la notació, la variable aleatòria se sol indicar ambper <math>X</math> (en majúscules) i el valor observat d'aquesta variable aleatòria se sol indicar ambper <math>x</math> (és a dir, en minúscules).
 
Es diu "aleatòria" perquè el seu domini és constituït pels resultats d'un experiment influït per l'atzar i se'n diu "variable" perquè pren valors numèrics que varien (d'acord amb la probabilitat). Cal dir, però, que la paraula ''variable'' és una mica confosa, ja que, com hem comentat, una variable aleatòria és una funció o aplicació, i no es correspon al que en altres parts de la matemàtica s'anomena la ''variable d'una funció.''
 
'''Exemple'''
'''Exemple.''' Considerem l''''experiència aleatòria''' del llançament de dos daus. El conjunt de resultats possibles d'aquesta experiència és:<math display="block">\Omega=\big\{(1,1),\,(1,2),\dots,(1,6),\,(2,1),(2,2),\,(2,3),\dots,(6,1),\,(6,2),\dots, (6,6)\big\},</math> on el parell <math>(i,j)</math> vol dir que al primer dau (dau1) hem obtingut el resultat <math>i</math> i al segon dau (dau2) hem obtingut el resultat <math>j</math>. En general els elements de <math>\Omega</math> es designen per <math>\omega</math>.
 
Podem considerar la variable aleatòria <math>X</math> que a cada resultat de l'experiència li assigna la '''suma dels punts dels dos daus,''' és a dir:
Línia 26:
Una variable aleatòria s'anomena '''''discreta''''' si pot prendre un nombre finit o infinit numerable de valors.
 
===== '''Exemples ====='''
# La variable aleatòria que hem vist anteriorment del llançament de dos daus: <math>X</math>=suma dels punts dels dos daus, i que pot prendre un nombre finit de valors: 2,3, ...,12.
# Una variable aleatòria amb '''[[distribució binomial]],''' de paràmetres <math>n</math> i <math>p</math>, que perpot prendre els valors <math>1,\,2,|dots, n</math>. Per les seves aplicacions, és una de les més important de les distribucions discretes demés probabilitatimportants.
# Una variable aleatòria amb [[distribució de Poisson]] que pot prendre qualsevol nombre natural: 0, <math>1, \,2,...|dots </math>; Perper tant, pot prendre un nombre infinit numerable de valors.
Moltes variables aleatòries discretes importants prenen valors enters.
 
==== Funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta. ====
Considerem una variable aleatòria discreta <math>X</math> quei pren valorasigui <math>x_1D=\{x_i,x_2\, i\dotsin I\}</math>Es, defineixamb la<math>I\subset [[funció de\mathbb{N}</math>, probabilitat]]el <refconjunt name=":32">{{Ref-llibre|edició=2a.finit ed|títol=Probabilidado yinfinit estadística|url=https://www.worldcat.org/oclc/40408359|editorial=Addison-Wesleynumerable Iberoamericaca|data=1988|lloc=Wilmington,de Delawere,valors E.U.A.|isbn=0201644053|cognom=DeGroot,possibles Morrisque Hpot prendre., 1931- S'anomena [[funció de probabilitat]]{{sfn|nom=Sanz|llengua=1999|pàginesp=pp. 94-9550}}</ref> (o funció de massa de probabilitat o funció de densitat) de <math>X</math> a la funció <math display="inline">p:\mathbb{R}D\longrightarrow [0,1]</math> definida per<math display="block">p(x)=P(X=x).</math>Cal notar que <math>p(x)=0</math> a menys que <math>x=x_i</math> per algun valor <math>x_i</math>.
<math display="block">p(x_i)=P(X=x_i).</math>[[Fitxer:Gràfic distribució suma de dos daus.png|miniatura|Funció de probabilitat de la variable aleatòria "suma dels valors del llançament de dos daus"]]'''Exemple.''' En el cas dels dos daus tenim, per exemple, que <math display="block">p(2)=P(X=2)= \frac{1}{36}</math> perquè l'esdeveniment <math>\{X=2\}</math> té com a únic cas favorable (1,1) (és a dir, {dau1=1 i dau2=1}). Anàlogament, es calculen els altres valors de la funció de probabilitat:
 
[[Fitxer:Gràfic distribució suma de dos daus.png|miniatura|Funció de probabilitat de la variable aleatòria "suma dels valors del llançament de dos daus"]]'''Exemple.''' En el cas dels dos daus tenim, per exemple, que <math>p(2)=P(X=2)= \frac{1}{36}</math> perquè l'esdeveniment <math>\{X=2\}</math> té com a únic cas favorable {dau1=1 i dau2=1}, és a dir, (1,1). Anàlogament, es calculen els altres valors de la funció de probabilitat:
 
<math display="block">p(2)= \frac{1}{36},\, p(3)= \frac{2}{36}, \,p(4)=\frac{3}{36},\, p(5)=\frac{4}{36},\, p(6)=\frac{5}{36},\, p(7)= \frac{6}{36},\, p(8)=\frac{5}{36},\,p(9)=\frac{4}{36},\,
p(10)=\frac{3}{36}, \, p(11)=\frac{2}{36},\, p(12)=\frac{1}{36}. </math>{{Teorema|1='''Propietat.''' La funció de probabilitat determina totes les probabilitats relacionades amb <math>X</math>: <math display="block">P(X\in B)=\sum_{i:\, x_i\in B} p(x_i).</math>}}Continuant amb l'exemple anterior, la probabilitat d'obtenir una suma dels dos daus menor o igual a 7 serà:<math display="block">P(X\le 7)=P\big(X\in\{2,3,4,5,6,7\}\big)=p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)=\frac{1+2+3+4+5+6}{36}=\frac{21}{36}\approx 0,58.</math>
p(10)=\frac{3}{36}, \, p(11)=\frac{2}{36},\, p(12)=\frac{1}{36}, </math>i <math display="inline">
<br>
p(x)=0 \quad \text{si} \quad x\not\in\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} </math>.
'''Observació.''' Alguns autors {{sfn|DeGroot|1988|pp=94-95}} defineixen la funció de probabilitat sobre tot el conjunt dels nombres reals: <math>p:\mathbb{R}\longrightarrow [0,1]</math>,
<br/ >
<math display="block">p(x)=P(X=x).</math>
La funció de probabilitat <math>p(x)</math> determina totes les probabilitats relacionades amb <math>X</math>:<math display="block">P(X\in B)=\sum_{i:\, x_i\in B} p(x_i).</math>Continuant amb l'exemple anterior, la probabilitat d'obtenir una suma dels dos daus menor o igual a 7 serà:<math display="block">P(X\le 7)=P\big(X\in\{2,3,4,5,6,7\}\big)=p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)=\frac{1+2+3+4+5+6}{36}=\frac{21}{36}\approx 0,58.</math>
Cal notar que <math>p(x)=0</math> a menys que <math>x=x_i</math> per algun valor <math>x_i\in D</math>. A tots els efectes, ambdues definicions són equivalents.
<br>'''Observació.''' Alguns autors <ref>{{Ref-llibre|títol=Probabilitats|url=https://www.worldcat.org/oclc/807622317|editorial=Edicions Universitat de Barcelona|data=1999|lloc=Barcelona|isbn=84-8338-091-9|nom=Marta|cognom=Sanz|pàgines=50}}</ref> defineixen la funció de probabilitat només sobre el conjunt dels possibles valors de la varible: sigui <math>D=\{x_i,\, i\in I\}</math> amb <math>I\subset \mathbb{N}</math> el conjunt finit o infinit numerable on pren valors la variable <math>X</math>. Aleshores es definiex <math>p:D\longrightarrow [0,1]</math> per
<math display="block">p(x_i)=P(X=x_i).</math>
Això no genera cap dificultat ni confusió.
 
==== Funció de distribució d'una variable discreta ====
{{Article principal|Funció de distribució}}
Donada una variable aleatòria general <math>X</math> la seva [[funció de distribució]] <ref name=":2">{{Ref-llibresfn|edició=1a edBonet|títol=Fonaments d'estadística|url=https://www.worldcat.org/oclc/802486148|editorial=Teide|data=1974|llocp=Barcelona|isbn=8430773495|cognom=Bonet, Eduard.|nom=|llengua=Català|pàgines=p. 133}}</ref> és la funció <math>F:{\mathbb R} \to [0,1]</math> definida per<math>F(x)=P(X\le x).</math> Aquest funció permet unificar l'estudi de diverses propietats de les variables aleatòries (vegeu la secció Definició formal de variable aleatòria).
<center>{{Caixa d'equació|equation=<math>F(x)=P(X\le x).</math>}}</center> Aquesta funció permet unificar l'estudi de diverses propietats de les variables aleatòries (vegeu la secció Definició formal de variable aleatòria). En particular, per a una variable discreta <math>X</math>, amb les notacions anteriors, la seva funció de distribució vindrà donada per<math display="block">F(x)=P(X\le x)=P(X\in (-\infty,x])=\sum_{i:\, x_i\le x}p(x_i).</math>
 
'''Exemple.''' Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb <math>c</math> i una creu amb <math>s</math>. Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares <math>(cc)</math> , una cara seguida d'una creu <math>(cs)</math>, una creu seguida d'una cara <math>(sc)</math> i dues creus <math>(ss)</math>. Així,<center>
===== Exemple =====
Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb c i una creu amb s. Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares (cc), una cara seguida d'una creu (cs), una creu seguida d'una cara (sc) i dues creus (ss). Així,<center>
<math>
\Omega=\{cc,cs,sc,ss\}.
</math>
</center>Sigui <math>X</math> la variable aleatòria que compta el nombre de cares obtingudes en el llançament. És a dir, <math>X</math> és la següent funció:<center>
<math>
X:\Omega\to {\mathbb R}
</math>
</center>donada per
: <math display="block"> X(cc) = 2,\quad, X(cs)=X(sc)=1 \quad \text{i}\quad X(ss)=0. </math>
 
El conjunt possibles valors de <math>X</math> és <math>\{0,\, 1,\, 2\}</math>. O sigui, és una variable discreta, ja que només pot prendre els valors 0, 1 i 2.
[[Fitxer:Funció_probabilitat-Exemple.pdf|alt=Exemple de la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta|miniatura|Figura 1. Funció de probabilitat]]
La funció de probabilitat és <math> p(0)=1/4,\, p(1)=2/4 \ \text{i}\ \ p(2)=1/4 </math>, i <math>p(x)=0</math> per a <math>x\not\in\{0,1,2\}</math>. Vegeu la Figura 1.
 
La funció de distribució ve donada per
Linha 82 ⟶ 78:
 
=== Variables aleatòries contínues ===
Entre les variables aleatòries que poden prendre un nombre de valors no numerable, per exemple, una variable que pugui prendre qualsevol nombre real, tenen especial importància les variables aleatòries que tenen funció de densitat, les quals també s'anomenen variables aleatòries asolutament contínues, o senzillament variables contínues.
 
Una variable aleatòria es diu que '''té densitat''' o que és '''absolutament contínua''' o que és '''contínua''' si existeix una funció <math>f:{\mathbb R} \to {\mathbb R} </math> que compleix
 
: '''1.''' <math display="inline">f(x)\ge 0, \forall x\in {\mathbb R}.</math>
Linha 90 ⟶ 86:
: '''3.''' Per a <math> -\infty \le a \le b \le +\infty</math>,
[[Fitxer:Funcio_densitat_exemple_Probab.pdf|alt=Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat|miniatura|Figura 4. Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat]]
<mathcenter>{{Caixa displayd'equació|equation="block"<math> P( a \le X \le b)= \int_a ^b f(t)\, dt.</math>És a dir}}</center>Així, la probabilitat que la variable prengui un valor de l'interval <math>[a\ , b]</math> és l'àrea de la zona limitada pel gràfic de la funció<math>f</math>, l'eix de les <math>x</math> i l les rectes <math>x=a</math> i <math>x=b</math>.Vegeu la Figura 4.
 
 
La funció <math>f</math> s'anomena [[funció de densitat]] de <math>X</math>. La [[funció de distribució]] és<center><math>F(x)=P\{X \le x\}= \int_{-\infty}^x f(t) \, dt,</math></center>i <math>F</math> és [[Funció contínua|contínua]] (de fet és [[Funció absolutament contínua|absolutament contínua]]). Noteu que per a qualsevol valor <math>x\in \mathbb{R}</math><math display="block">P(X=x)=\int_x^xf(t)\,dt=0.</math>
 
Linha 100 ⟶ 98:
* La fracció de massa que s'ha desintegrat per unitat de temps en una substància radioactiva.
 
==== '''Exemples ===='''
: '''1.''' El pes d'una persona és una variable contínua, assumint que podem mesurar el pes amb infinita precisió. Per exemple, podríem caracteritzar el pes amb una [[distribució normal]] amb mitjana 70 i desviació estàndard 10.
: '''2.''' D[[Distribució uniforme contínua|istribució uniforme]] en un interval <math>[a,b]</math>. La funció de densitat ve definida per:
Linha 107 ⟶ 105:
<math display="block">F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x\leq a \\ \frac{x-a}{b-a} & \text{si }a\leq x \leq b \\ 1&\text{si } x\geq b \end{cases}</math>
: '''3.''' Com a exemple de l'anterior podem considerar el següent: Per una parada d'autobussos en passa, amb absoluta regularitat, un cada 10 minuts, Si <math>X</math> representa el temps que ha d'esperar una persona que arriba aleatòriament a la parada, aleshores <math>X</math> té una distribució uniforme a l'interval <math>[0,10]</math> . La funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria <math>X</math> que es mostra al gràfic de la Figura 5.[[Fitxer:Funció densitat autobusos(format jpeg).jpg|miniatura|Figura 5. Funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria "temps espera parada autobusos"]] El valor de f(x) per a l'interval de temps <math>[0\leq x\leq 10]</math> s'ha fixat de manera que l'àrea sota la funció sigui 1. Si una persona arriba a la parada aleatòriament, quina és la probabilitat que hagi d'esperar-se 7 minuts o més? La resposta s'obté calculant l'àrea del rectangle ombrejat. El valor de <math>P(7\leq X)</math> serà, doncs, <math>3\times0,1=0,3</math>.
<br>'''Observació.''' Les funcions de densitat no són úniques, i es poden modificar sobre un conjunt finit o infinit numerable de punts (de fet, sobre un conjunt de mesura de Lebesgue zero). Per exemple, retornant a l'exemple 2, la funció <math display="block">f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si }x\in(a,b), \\ 0 &\text{en cas contrari}, \end{cases}</math>també és una funció de densitat de la distribució uniforme en l'interval <math>[a,b]</math>.
<br>
'''Observacions.'''
: '''1.'''Des del punt de vista teòric, les funcions de densitat són [[Funció mesurable|mesurables]] de Borel i les integrals que apareixen són [[Integral de Lebesgue|integrals de Lebesgue]]. Però a la pràtica, gaire bé totes les funcions de densitat són contínues o contínues a trossos, i les integrals es poden considerar integrals de Riemann ordinàries.<ref>{{Ref-llibre|edició=2nd ed|títol=Probability and measure theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/42622245|editorial=Harcourt/Academic Press|data=2000|lloc=San Diego|isbn=0-12-065202-1|nom=Robert B.|cognom=Ash|pàgines=57}}</ref>
: '''2.''' Les funcions de densitat no són úniques, i es poden modificar sobre un conjunt finit o infinit numerable de punts (de fet, sobre un conjunt de mesura de Lebesgue zero). Per exemple, retornan a l'exemple 2, la funció <math display="block">f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si }x\in(a,b), \\ 0 &\text{en cas contrari}, \end{cases}</math>també és una funció de densitat de la distribució uniforme en l'interval <math>[a,b]</math>.
 
=== Variables aleatòries mixtes ===
Linha 118 ⟶ 113:
F(x)=\begin{cases}
0,& \text{si}\ x<0,\\
\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{2}, & \text{si}\ x=0\le x\le 1,\\
\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{2},& \text{si}\ 0< x\le 1,\\
1,& \text{si}\ x\ge 1.
\end{cases}
Linha 135 ⟶ 129:
<math display="block">\mu=\sum_i x_i\, p(x_i), </math>sempre que <math>\sum_i \vert x_i\vert \, p(x_i)<\infty</math>.
 
En l'exemple dels dos daus val:<math display="block">\mu=2\times \frac{1}{36} +3\times \frac{2}{36} +...+12\times \frac{1}{36} =7. </math>
La suma s'estén a tots els possibles valors <math>x_i </math>de la variable aleatòria.
 
La mitjana d'una variable aleatòria rep també el nom de '''valor esperat''' (o '''esperança''') i es representa <math>
En l'exemple dels dos daus val: <math display="block">\mu=2\times \frac{1}{36} +3\times \frac{2}{36} +...+12\times \frac{1}{36} =7. </math>
E(X)
 
</math>
La mitjana d'una variable aleatòria rep també el nom de '''valor esperat''' (o '''esperança''') i es representa <chem>E(X).</chem>
 
===== Variància =====
Linha 160 ⟶ 154:
La ''mitjana'' o valor esperat <math>\mu </math> d'una variable aleatòria contínua<math>X </math> es defineix en termes de la funció de densitat de probabilitat:
 
<math display="block">\mu=\int_{-\infty}^{+\infty} x\, f(x)\,dx.,</math>sempre que <math>
\int_{-\infty}^\infty \vert x\vert\, f(x)\, dx<\infty
</math> .
 
===== Variància =====
La ''variància'' es defineix per la fórmula:
 
<math display="block">\sigma^2=\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2\, f(x)dx=\int_{-\infty}^\infty x^2\, f(x)\, dx-\mu^2.,</math>sempre que <math>
\int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)\, dx<\infty
</math> .
 
== Funcions de variables aleatòries ==
AplicarA l'aplicar una funció a una variable aleatòria resulta ens'obté una altra variable aleatòria. Més concretament, si tenim una variable aleatòria ''<math>
X''
</math> i una [[ funció mesurable]] <math>
g: '''\mathbb{R'''}\longrightarrow → '''\mathbb{R'''}
</math>, aleshores ''<math>
Y'' = g''(X'')
</math> també és una variable aleatòria (vegeu a la darrera secció les condicions formals). La [[funció de distribució]] de ''Y'' és<math>
Y
</math> és
 
:<math display="block">F_Y(y) = \operatorname{P}(g(X) \le y).</math>
''' Exemple 1.''' Sigui <math> X </math> una variable aleatòria contínua que pren valors en els nombres reals, i sigui <math>Y=X^2</math>. Aleshores, <math>Y</math> és una variable aleatòria amb funció de distribució <math>F_Y(y) = \operatorname{P}(X^2 \le y).</math>
 
: Si <math>y<0</math>, aleshores <math>P(X^2<y)=0</math>, i per tant
=== Exemple 1 ===
<math display="block">F_Y(y) = 0,\ \text{si } y < 0.</math>
Sigui ''X'' una variable aleatòria contínua que pren valors en els nombres reals, i sigui ''Y'' = ''X''<sup>2</sup>. Aleshores, ''Y'' és una variable aleatòria amb funció de distribució
:Si ,<math>y\ge 0</math>, aleshores
 
: <math display="block">F_YP(X^2 \le y) = \operatorname{P}(|X^2| \le \sqrt{y}).</math>
=P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}),</math>
 
Si ''y'' < 0, aleshores P(''X''<sup>2</sup> ≤ ''y'') = 0, i per tant
 
: <math>F_Y(y) = 0\qquad\hbox{si}\quad y < 0.</math>
 
Si ''y'' ≥ 0, aleshores
 
: <math>\operatorname{P}(X^2 \le y) = \operatorname{P}(|X| \le \sqrt{y})
= \operatorname{P}(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}),</math>
 
i per tant
<math display="block">F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})\qquad\hbox{si}\quad y \ge 0.</math>
 
: <math>F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})\qquad\hbox{si}\quad y \ge 0.</math>
 
=== Exemple 2 ===
Suposem que <math>X</math> és una variable aleatòria amb funció de distribució
 
: <math display="block"> F_{X}(x) = P(X \leq x) = \frac{1}{(1 + e^{-x})^{\theta}}</math>
 
on <math>\scriptstyle \theta > 0</math> és un paràmetre fixat. Considerem la variable aleatòria <math> \scriptstyle Y = \mathrm{log}(1 + e^{-X}).</math> Aleshores, si <math>y>0</math>,
 
: <math display="block"> F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = P(\mathrm{log}(1 + e^{-X}) \leq y) = P(X\ge -\mathrm{log}(e^{y} - 1)).\,</math>
 
La darrera expressió pot calcular-se en termes de la funció de distribució d'de <math>X,</math> i per tant
 
: <math display="block">F_{Y}(y) = 1 - F_{X}(-\mathrm{log}(e^{y} - 1))
: <math>\begin{align}
F_{Y}(y) & = 1 - F_\frac{X1}{(-1 + e^{\mathrm{log}(e^{y} - 1)}) \^{\theta}}
& = 1 - \frac{1}{(1 + e^{\mathrm{log}(e^{y} - 1)})^{\theta}} \\
& = 1 - \frac{1}{(1 + e^{-y}\, - 1)^{\theta}}. \\
</math>
& = 1 - e^{-y \theta}. \\
\end{align}</math>
: Si <math>y\le 0,</math> <math>F_Y(y)=0.</math>
:
 
== Definició formal de variable aleatòria ==
Considerem un [[espai de probabilitat]] <math>(\Omega,{\mathcal A},P)</math>, on <math>\Omega</math> és un conjunt, <math>{\mathcal A}</math> és una [[Sigma-àlgebra|σ-àlgebra]] sobre <math>\Omega</math> (la família d'esdeveniments) i <math>P:{\mathcal A}\to [0,1]</math> és una probabilitat. Designem per <math>{\mathcal B}</math> la [[Sigma-àlgebra de Borel|σ-àlgebra de Borel]] sobre els nombres reals <math>{\mathbb R}</math>. Una variable aleatòria<ref name=":0">{{Ref-llibresfn|títol=Teoría de la probabilidadLoeve|url=https://www.worldcat.org/oclc/432496610|editorial=Tecnos|data=D.L. 1976|llocp=Madrid|isbn=8430906630|cognom=Loeve, Michel.|nom=|edició=|llengua=|pàgines=p. 152}}</ref> és una aplicació <math>X:\Omega\to {\mathbb R}</math> que és <math>{\mathcal A}/{\mathcal B}</math> [[Funció mesurable|mesurable]], és a dir, que per qualsevol <math>B\in \mathcal{B}</math>,
<center>
<math>
Linha 234 ⟶ 229:
 
=== Cas d'espais finits o numerables ===
Quan el conjunt <math>\Omega</math> és finit o infinit numerable, en molts casos es pot prendre com <math>\sigma</math>-àlgebra d'esdeveniments <math>{\mathcal A}</math> el [[conjunt de les parts]] de <math>\Omega</math>. Llavors,<ref> {{Ref-llibresfn|títol=Teoría de la probabilidadKrickeberg|url=https://www.worldcat.org/oclc/432406217|editorial=Teide|data=[1973]|llocp=Barcelona|isbn=843077324X|cognom=Krickeberg, Klaus.|nom=|edició=|llengua=|pàgines=p. 25}}</ref>, qualsevol aplicació <math>X:\Omega\to {\mathbb R}</math> compleix la condició de mesurabilitat (1), i per tant en aquest cas, la definició intuïtiva del principi i la formal coincideixen.
 
=== Operacions amb variables aleatòries ===
#:'''1.''' Si <math>X</math> i <math>Y</math> són dues variables aleatòries, aleshores <ref name=":1">{{Ref-llibresfn|edició=2ème édition revue et corrigéeNeveu|títol=Bases mathématiques du calcul des probabilités|url=https://www.worldcat.org/oclc/489634257|editorial=Masson et Cie|data=1970|llocp=París|isbn=2225617872|cognom=Neveu, Jacques, (1932- ...)|nom=|llengua=|pàgines=p. 35}}</ref> <math>X+Y \ \text{i} \ X\cdot Y</math> son variables aleatòries, i si <math>Y(\omega)\ne 0, </math> per tot <math>\omega\in \Omega</math>, aleshores <math>X/Y</math> també és una variable aleatòria.
 
:'''2.''' Si <math>\{X_n,\, n\ge 1\}</math> és una successió de variables aleatòries tals que per tot <math>\omega\in \Omega</math> la successió numèrica <math>\{X_n(\omega),\, n\ge 1\}</math> convergeix, aleshores la funció <math>X</math> definida per
<center>
<math>
Linha 247 ⟶ 242:
també és una variable aleatòria.<ref name=":1"/>
 
:'''3. '''Sigui <math>X</math> una variable aleatòria i <math>g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> una funció mesurable respecte la <math>\sigma</math> -àlgebra de Borel. Aleshores <math>g(X)</math> també és una variable aleatòria.<ref name=":4">{{Ref-llibresfn|edició=2nd edAsh|títol=Probability and measure theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/42622245|editorial=Harcourt/Academic Press|data=2000|llocp=San Diego|isbn=0120652021|cognom=Ash, Robert B.|nom=|llengua=|pàgines=p. 36}}</ref>
 
'''Observacions:'''
 
#:'''(a)''' La funció <math>g</math> no cal que estigui definida a tot <math>\mathbb{R}</math>, sinó només al conjunt on pren valors la variable <math>X</math>. Per exemple, si <math>X</math> és discreta, <math>g</math> ha d'estar definida en el conjunt <math>\{x_1,x_2,\dots\}</math> dels punts tals que <math>P(X=x_i)>0</math>. O si <math>X</math> és una variable no negativa, aleshores <math>g</math> n'hi ha prou que <math>g</math> estigui definida a <math>[0,\infty)</math>.
#:'''(b)''' Tota funció contínua és Borel mesurable.<ref name=":4"/>
 
<br />
 
=== Funció de distribució d'una variable aleatòria ===
Donada una variable aleatòria <math>X</math> la seva funció de distribució <ref name{{sfn|Sanz|199|pp=":2"/>43-48}} és la funció <math>F:{\mathbb R} \to [0,1]</math> definida per<math>F(x)=P(X\le x).</math> Té les següents propietats:<ref name=":3">{{Ref-llibre|edició=2a. ed|títol=Probabilidad y estadística|url=https://www.worldcat.org/oclc/40408359|editorial=Addison-Wesley Iberoamericaca|data=1988|lloc=Wilmington, Delawere, E.U.A.|isbn=0201644053|cognom=DeGroot, Morris H., 1931-|nom=|llengua=|pàgines=pp. 105-106}}</ref>
 
# La funció <math>F</math> és no decreixent: <math>\text{si} \ x< y, \ \text{aleshores}\ F(x)\le F(y).</math>
# La funció <math>F</math> és contínua per la dreta i té límits per l'esquerra en tot punt.
# <math>\lim_{x\to-\infty}F(x)=0 \ \text{i} \ \lim_{x\to \infty}F(x)=1.</math>
# <math>P(a<X\le b)=F(b)-F(a)</math>.
# <math>P(X<x)=F(x^-)</math>, on <math>F(x^-)=\lim_{s\uparrow x}F(s)</math> és el [[limit per l'esquerra]] de <math>F</math> en el punt <math>x</math>.
# <math>P(X=x)=F(x)-F(x^-)</math>. És a dir, <math>F</math> és discontínua en el punt <math>x</math> si i només si <math>P(X=x)>0</math>.
 
Com a conseqüència del punt 6, la funció de distribució d'una variable discreta és discontínua en el valors que pot prendre amb probabilitat diferent de zero. També es dedueix que la funció de distribució d'una variable aleatòria contínua és contínua a tot arreu.
 
'''Observació.''' Alguns autors <ref name=":0"/> defineixen la funció de distribució per <math>F(x)=P(X<x)</math>. Aquesta funció és contínua per l'esquerra
 
'''Observacións'''
: '''1.''' Alguns autors {{sfn|Loeve|1976|p=167}} defineixen la funció de distribució per <math>F(x)=P(X<x)</math>. Aquesta funció és contínua per l'esquerra.
:'''2.''' En relació a les variables aleatòries discretes, als exemples que hem vist, així com en els casos més habituals, com la distribució binomial o la de Poisson, la funció de distribució és [[Funció esglaonada|esglaonada]], però en general no ha de ser així. El següent exemple és de Loeve {{Sfn|Loeve|1976|p=177}}: sigui <math>r_1,r_2,\dots</math> una ordenació dels nombres racionals, i sigui <math>X</math> una variable aleatòria tal que
<math display="block">P(X=r_n)=\frac{6}{\pi^2}\,\frac{1}{n^2}.</math>Aleshores la corresponent funció de distribució no és esglaonada; de fet, ni tan sols es pot dibuixar. (Recordeu que <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}</math>, on <math>\zeta</math> és la funció zeta de Riemann{{sfn|Olver|2010|p=605|loc=Fórmula 25.6.1}}.)
: '''3.''' Pel que fa referència a les variables absulutament contínues, des del punt de vista teòric, les funcions de densitat són [[Funció mesurable|mesurables]] de Borel i les integrals que apareixen són [[Integral de Lebesgue|integrals de Lebesgue]]. Però a la pràctica, gaire bé totes les funcions de densitat són contínues o contínues a trossos, i les integrals es poden considerar integrals de Riemann ordinàries. {{sfn|Ash|2000|p=57}}.
: '''4''' Una variable aleatòria es diu que és contínua (respecivament absolutament contínua) si la seva funció de distribució és contínua (resp. absolutament contínua). El fet que que hi hagi funcions de distribució que són contínues però no absolutament contínues com la [[distribució de Cantor]] fa que, en rigor, caldria distingir entre ambdós tipus de variables. Però les funcions de distribució contínues no absolutament contínues són excepcions, i molts autors de referència, com Johnson, Kotz and Balakrishnan {{sfn|Johnson|1969}}, utilitzen el nom de variables contínues per referir-se a variables absolutament contínues.
=== Llei o distribució d'una variable aleatòria ===
Una variable aleatòria <math>X</math> definida en un espai de probabilitat <math>(\Omega,{\mathcal A},P)</math> indueix una probabilitat, designada per <math>P_X</math>, sobre l'espai mesurable <math>(\mathbb{R},\mathcal{B})</math> de la següent manera: per qualsevol <math>B\in \mathcal{B}</math>,
Linha 277 ⟶ 276:
</math>
</center>
Aquesta probabilitat <math>P_X</math> s'anomena la '''llei'''{{sfn|Sanz|199|p=41}} o '''la distribució de probabilitat''' <ref name{{sfn|Bonet|1969|p=":2"/>133}} o senzillament '''distribució''' de la variable aleatòria <math>X</math>, i no s'ha de confondre amb la funció de distribució <math>F</math> que hem vist anteriorment; la seva relació ve donara per<math display="block">F(x)=P_X\big((-\infty,x]\big).</math>En el cas discret, la forma habitual de referir-se a la llei és mitjançant la funció de probabilitat, i en el cas absolutament continu per la funció de densitat.
 
=== Igualtat en llei (o distribució) de variables aleatòries ===
Linha 289 ⟶ 288:
Es diu que dues variables aleatòries <math>X \ \text{i}\ Y</math> (definides en el mateix espai de probabilitat) són '''iguals quasi segurament''' o '''iguals amb probabilitat 1''' si <math>P(X=Y)=1</math>. Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.
 
== Vegeu també ==
* [[Homoscedasticitat]]
 
== ReferènciesNotes ==
{{Referències}}
 
==Referències==
{{Autoritat}}
*{{Ref-llibre
|edició=2nd ed|títol=Probability and measure theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/42622245|editorial=Harcourt/Academic Press
|data=2000
|lloc=San Diego|isbn=0120652021
|cognom=Ash
|nom=Robert B.}}
*{{Ref-llibre
|títol=Espais de probabilitat finits
|cognom=Bonet
|nom=Eduard
|data=1969
|editorial=Lavínia|lloc=Barcelona}}
* {{Ref-llibre
|edició=1a ed|títol=Fonaments d'estadística|url=https://www.worldcat.org/oclc/802486148|editorial=Teide
|data=1974|lloc=Barcelona|isbn=8430773495
|cognom=Bonet
|nom=Bonet|llengua=Català}}
*{{Ref-llibre
|edició=2a. ed|títol=Probabilidad y estadística|url=https://www.worldcat.org/oclc/40408359|editorial=Addison-Wesley Iberoamericaca
|data=1988|lloc=Wilmington, Delawere, E.U.A.|isbn=0-201-64405-3|nom=Morris H.
|cognom=DeGroot}}
*{{Ref-llibre
|títol=Continuous univariate distributions
|cognom=Johnson
|nom=Norman L.|edició=2nd.
|data=1969|editorial=John Wiley and Sons, Inc.|lloc=New York|cognom2=Kotz|nom2=Samuel|cognom3=Balakrishnan|nom3=N.|volum=1}}
*{{Ref-llibre
|títol=Teoría de la probabilidad|url=https://www.worldcat.org/oclc/432406217|editorial=Teide
|data=1973
|lloc=Barcelona|isbn=843077324X
|cognom=Krickeberg
|nom=Klaus}}
*{{Ref-llibre
|títol=Teoría de la probabilidad|url=https://www.worldcat.org/oclc/432496610|editorial=Tecnos
|data=1976
|lloc=Madrid|isbn=84-309-0663-0|nom=Michel
|cognom=Loeve
}}
*{{Ref-llibre
|edició=2ème édition revue et corrigée|títol=Bases mathématiques du calcul des probabilités|url=https://www.worldcat.org/oclc/489634257|editorial=Masson et Cie
|data=1970
|lloc=París|isbn=2225617872
|cognom=Neveu, Jacques|nom=Jacques}}
*{{Ref-llibre|títol=NIST handbook of mathematical functions|url=https://www.worldcat.org/oclc/502037224|editorial=[[Cambridge University Press]]
|data=2010
|lloc=Cambridge|isbn=978-0-521-19225-5
|cognom=Olver
|nom=F.W.J.|coautors=et al.}}
*{{Ref-llibre
|títol=Probabilitats|url=https://www.worldcat.org/oclc/807622317|editorial=Edicions Universitat de Barcelona
|data=1999
|lloc=Barcelona|isbn=84-8338-091-9|nom=Marta
|cognom=Sanz}}
 
 
{{ORDENA:Variable Aleatoria}} <!--ORDENA generat per bot-->