Geometria algebraica: diferència entre les revisions

 

Gran part del desenvolupament del principal corrent de la geometria algebraica en el segle XX es va donar en el marc de l'àlgebra abstracta, amb un èmfasi creixentment centrat en les propietats "intrínseques" de les varietats algebraiques independentment de cap forma particular d'''[[embedding]]'' de la varietat en les coordenades de l'espai ambient; sempre en paral·lel als desenvolupaments de la [[topologia]], de la [[geometria diferencial]] i [[geometria complexa|complexa]]. Una fita clau d'aquesta geometria algebraica abstracta és la [[Esquema (matemàtiques)|teoria d'esquemes]] de [[Alexander Grothendieck|Grothendieck]] que va permetre usar la [[feix (matemàtiques)|teoria de feixos]] en l'estudi de varietats algebraiques de forma molt similar al seu ús en l'estudi de [[Varietat diferenciable|varietats diferenciables]] i analítiques. Aquest resultat s'obté estenent la noció d'un punt: en geometria algebraica clàssica, es pot identificar un punt d'una varietat afí, a través del [[teorema dels zeros de Hilbert]], amb un [[ideal maximal]] de l'anell de coordenades, mentre que els punts de l'esquema afí corresponent són tots ideals primers de l'anell. Això significa que un punt d'aquest esquema pot ser o bé un punt usual o una subvarietat. Aquest plantejament també permet una unificació del llenguatge i de les eines de la geometria algebraica clàssica, principalment centrats en punts complexos i en la teoria de nombres algebraics. La demostració de Wiles del llargament no resolt [[darrer teorema de Fermat]] és un exemple del potencial d'aquest plantejament.

 

{{Commonscat}}