Paritat d'una permutació: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi
l'adjectiu «parell» és variable
Línia 1:
En [[matemàtiques]], les [[permutació|permutacions]] (és a dir, les bijeccions en els conjunts finits) es poden descompondre en un producte de [[Permutació#permutacions particulars|transposicions]], és a dir en una successió d'intercanvis d'elements dos a dos.
* Una '''permutació parellparella''' és una permutació que es pot expressar com el producte d'un nombre parell de transposicions;
* Una '''permutació senar''' és una permutació es pot expressar com el producte d'un nombre senar de transposicions.
 
El '''signe''' d'una permutació val 1 si és parellparella i -1 si és senar. L'aplicació signe constitueix un [[homomorfisme|morfisme de grups]]. Intervé en [[àlgebra multilineal]], sobretot per al càlcul de [[Determinant (matemàtiques)|Determinants]].
 
== Definició de la paritat ==
Línia 12:
Siguin ''i<j'' dos elements diferents compresos entre 1 i ''n''. Es diu que la parella ''{i,j}'' queda '''invertida'' per <math>\sigma</math> quan <math>\sigma(i)>\sigma(j)</math>.
 
Una permutació s'anomena '''parellparella''' quan presenta un nombre parell d'inversions, senar si no.
 
; Exemple
: Sigui la permutació
::<math>\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\1&3&5&4&2\end{pmatrix}</math>
:La parella {1,2} no està en inversió ja que les imatges de 1 i 2 estan conserven el mateix ordre. Tampoc ho estan 1 i 3. La llista de les parelles en inversió és {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}. N'hi ha quatre, per tant la permutació és parellparella.
 
Per definició, el signe d'una permutació parellparella és 1, la d'una permutació senar és -1.
 
=== Una transposició és senar ===
Línia 39:
 
== Signe d'un producte ==
Les permutacions verifiquen una regla dels signes per al producte: el producte de dues permutacions parellsparelles és parell, de dues permutacions senars és parell, el producte d'una permutació parellparella i d'una senar és senar. Utilitzant el signe, això es resumeix per la fórmula
:<math>\varepsilon(\sigma\circ\tau)=\varepsilon(\sigma).\varepsilon(\tau)</math>
 
Línia 47:
:En el segon factor del segon membre, es reconeix directament un signe. Per al primer, cal prèviament reindexar posant ''{i',j'}={τ(i),τ(j)}'', on es reconeix llavors igualment un signe.
 
En termes algebraics: el signe és un [[morfisme]] de grups del [[grup simètric]] <math>(\mathfrak S_n,\circ)</math> en <math>\left(\{-1,1\},\times\right)</math>. El conjunt de les permutacions parellsparelles forma el [[grup alternat]], nucli d'aquest morfisme. Finalment la permutació inversa de σ té el mateix signe que σ.
 
=== Càlcul del signe ===
Com a corol·lari dels resultats precedents,
* una permutació és parellparella si i només si es pot expressar com el producte d'un nombre parell de transposicions;
* una permutació és senar si i només si es pot expressar com el producte d'un nombre senar de transposicions
 
Línia 59:
 
; Exemples
: la identitat és una permutació parellparella;
: una transposició és una permutació senar;
: una [[permutació circular]] és parellparella si el nombre d'elements és senar; és senar si el nombre d'elements és parell.
 
== Vegeu també ==