2.732.279
modificacions
m
Diacrítics
m (Plantilla) |
m (Diacrítics) |
||
|
té la forma
:<math>z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0</math>
per tant, dividint per <math>e^{zx}</math>
:<math>F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0</math>
És a dir, els termes
:<math>\frac {d^{k}y} {dx^{k}}\quad\quad(k = 1, 2, \cdots, n).</math>
de l'equació diferencial original es reemplacen per ''z''<sup>''k''</sup>. Solucionar el polinomi
Aquesta equació ''F''(''z'') = 0, és l'[[equació característica]] més considerada per [[Monge]] i [[Cauchy]].
Però <math>P(D)y_j=0</math>, per tant
:<math>f=u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n</math>
Això, amb les restriccions,
:<math>u'_j=(-1)^{n+j}f\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}</math>
La resta és qüestió d'integrar <math>u'_j</math>.
=== EDO lineals amb coeficient variable ===
==== Mètode de coeficients indeterminats ====
El mètode de coeficients indeterminats és útil per trobar solucions per <math>y_p </math>. Donada l'EDO <math>P(D)y = f(x)</math>, se n'ha de trobar una altra [[operador diferencial]] <math>A(D)</math> tal que <math>A(D)f(x) = 0</math>. Aquest operador s'anomena l''''anihilador'''. Així el mètode de coeficients indeterminats també s'anomena el '''mètode anihilador'''. Aplicant <math>A(D)</math> a ambdós costats de l'EDO
Els coeficients indeterminats no són tan generals com la variació de paràmetres en el sentit que l'anihilador no sempre existeix.
+c_4(-k^2+4ik+5)(\cos(kx)-i\sin(kx))</math>
|}
que
:<math>i=(k^2+4ik-5)c_3+(-k^2+4ik+5)c_4</math>
:<math>0=(k^2+4ik-5)c_3+(k^2-4ik-5)c_4</math>
de solucions
:<math>c_3=\frac i{2(k^2+4ik-5)}</math>, <math>c_4=\frac i{2(-k^2+4ik+5)}</math>
que
:{|
|-
===== Exemple =====
Resoldre l'exemple anterior, <math>y'' + y = \sec x</math>.
Recordant que <math>\sec x = \frac{1}{{\cos x}} = f</math>. Mitjançant la tècnica ja descrita, LHS té l'arrel de <math>r = \pm i</math> que
:<math>\left\{ {\begin{matrix}
{\dot u = \frac{{ - y_2 f}}{W} = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = \tan x} \\
| |||