Cos algebraicament tancat: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Gestió de l'entitat nbsp |
m Gestió de l'entitat nbsp |
||
Línia 2:
== Exemples ==
Com a exemple, el cos dels [[Nombre real|nombres reals]] no és algebraicament tancat, perquè l'equació polinòmica ''x''<sup>2</sup> + 1 = 0 no té solució en els nombres reals, encara que tots els seus coeficients (1 i 0) són reals. El mateix argument mostra que cap subcòs del cos dels reals és algebraicament tancat; en particular, el cos dels [[Nombre racional|nombres racionals]] no és algebraicament tancat. També, cap [[cos finit]] ''F'' és algebraicament tancat, perquè si ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a<sub>n</sub>'' són els elements de ''F'', llavors el polinomi (''x'' − ''a''<sub>1</sub>)(''x'' − ''a''<sub>2</sub>) ···
no té cap zero en ''F''. D'altra banda, el [[teorema fonamental de l'àlgebra]] afirma que el cos dels [[Nombre complex|nombres complexos]] és algebraicament tancat. Un altre exemple de cos algebraicament tancat és el cos dels [[Nombre algebraic|nombres algebraics]] (complexos).
Línia 14:
=== Tot polinomi és producte de polinomis de grau 1 ===
El cos ''F'' és algebraicament tancat si i només si qualsevol polinomi ''p''(''x'') de grau ''n'' ≥ 1, a [[coeficient]]s en ''F'', [[Factorització|descompon en factors lineals]]. En altres paraules, hi ha elements ''k'', ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'' del cos ''F'' tals que ''p''(''x'') = ''k''(''x'' − ''x''<sub>1</sub>)(''x'' − ''x''<sub>2</sub>) ···
Si ''F'' té aquesta propietat, llavors és obvi que qualsevol polinomi no-constant de ''F''[''x''] té almenys una arrel en ''F''; en altres paraules, ''F'' és algebraicament tancat. D'altra banda, el fet que tot polinomi sigui producte de polinomis de grau 1 si ''F'' és algebraicament tancat és una conseqüència de la propietat de la secció anterior, juntament amb el fet que, per qualsevol cos ''K'', tot polinomi de ''K''[''x''] pot escriure's com a producte de polinomis irreductibles.
| |||