Distribució binomial: diferència entre les revisions

En [[Teoria de la probabilitat]] i [[Estadística matemàtica|Estadística]], una [[variable aleatòria]] <math>X</math> es diu que té una distribució binomial de paràmetres <math>n\ </math> i <math>p</math> si representa el nombre d'èxits en <math>n\ </math> repeticions independents d'una prova que té probabilitat d'èxit <math>p</math>. Per exemple, tirem 10 vegades un dau ordinari i comptem quantes vegades surt un 6; en aquest cas l'èxit és "treure un 6", i la variable que compta el nombre de sisos té una distribució binomial de paràmetres <math>n=10</math> i <math>p=1/6</math>.

<math display="block"> P(X=k) ={n \choose k}p^k (1-p)^{n-k},\ k=0,1,\dots, n. </math>on <math display="block"> \!{n \choose k}= \frac{n !}{k ! (n-k) !}\, \! </math> és el [[coeficient binomial]].

Així, la funció de probabilitat de <math> X </math> és <math display="block"> f(k) ={n \choose k}p^k (1-p)^{n-k},\ k=0,1,\dots, n. </math>

:Això es dedueix per la linealitat de l'esperança, ja que {{mvar|X}} és la suma de {{mvar|n}} variables aleatòries de Bernoulli idèntiques, cadascuna d'elles amb esperança {{mvar|p}}. És a dir, si <math>X_1, \ldots, X_n</math> són variables aleatòries iguals (i independents) de Bernoulli amb paràmetre {{mvar|p}}, aleshores<math display="block">X = X_1 + \cdots + X_n</math> i, atès que <math display="block"> E[X_i]=p\cdot 1+q\cdot 0=p,\ i=1,\dots, n, </math>tindrem que <math display="block">\operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[X_1 + \cdots + X_n] = \operatorname{E}[X_1] + \cdots + \operatorname{E}[X_n] = p + \cdots + p = np.</math>D'altra banda, per a una variable de Bernoulli, <math display="block"> E[X_i^2]=p\cdot 1^2+q\cdot 0^2=p, </math>d'on <math display="block"> \text{Var}(X_i)=p-p^2=p(1-p), \ i=1,\dots, n. </math>Llavors, de la independència de <math> X_1,\dots,X_n </math> , es dedueix que