Llei de Hooke: diferència entre les revisions

La forma més comuna de representar matemàticament la&nbsp;''Llei de Hooke''&nbsp;és mitjançant l'equació delde mollla [[molla]] o&nbsp; ressort&nbsp;, on es relaciona la força&nbsp;<math>F</math>exercida pel ressort amb l'elongació&nbsp;o allargament&nbsp;provocat per la força externa aplicada a l'extrem del mateix:

És important notar que la&nbsp;<math>k</math> abans definida depèn de la longitud de la molla i de la seva constitució.&nbsp;Definirem ara una constant intrínseca del ressort independent de la longitud d'aquest i establirem així la llei diferencial constitutiva d'un moll.&nbsp;Multiplicant&nbsp;<math>k</math> per la longitud total, i trucant al producte <math>k_i</math>&nbsp;o&nbsp;<math>k</math> intrínseca, es té:

Anomenarem <math>F(x)</math>&nbsp;a la tensió en una secció del moll situada una distància x d'un dels seus extrems que prenem com a origen de coordenades, <math>k_{\Delta x}</math> a la constant d'un petit tros de mollmolla de longitud&nbsp; <math>\Delta x</math> a la mateixa distància i&nbsp;<math>\delta_{\Delta x}</math> l'allargament d'aquest petit tros en virtut de l'aplicació de la força&nbsp;.&nbsp;Per la llei delde mollla molla completcompleta:

Queque és l'equació diferencial delde la mollmolla.&nbsp;Si s'integra per a tot&nbsp;, s'obté com&nbsp;l'equació d'ona&nbsp;unidimensional quedel descriu[[Oscil·lador elsharmònic|oscil·lador fenòmenshàrmonic ondulatoris (Veure:&nbsp;Moll elàstic&nbsp;)simple]].&nbsp;La velocitat de propagació de les vibracions en un ressort es calcula com:

A la&nbsp;mecànica de sòlids deformables elàstics&nbsp;la distribució de tensions és molt més complicada que en un ressort o una barra estirada només segons el seu eix.&nbsp;La&nbsp;deformacióendeformació en el cas més general necessita ser descrita mitjançant un tensor de deformacions&nbsp;mentre que els esforços interns en el material necessiten ser representats per un tensor de tensions&nbsp;.&nbsp;Aquests dos tensors estan relacionats per equacions lineals conegudes per&nbsp;'''equacions d'Hooke generalitzades''' o&nbsp;'''equacions de Lamé-Hooke''' , que són lesequacionsles equacions constitutives&nbsp;que caracteritzen el comportament d'un sòlid elàstic lineal.&nbsp;Aquestes equacions tenen la&nbsp;forma general&nbsp;:

De tal manera que la deformació&nbsp;<math>\epsilon</math>és una quantitat adimensional , el mòdul&nbsp;<math>E</math>s'expressa en les mateixes unitats que l'esforç&nbsp;<math>\sigma</math>(unitats pa, psi i ksi). El màxim valor de l'esforç per al qual pot emprar-se la llei de Hooke en un material és conegut com a límit de proporcionalitat d'un material.&nbsp;En aquest cas, els materials dúctils que posseeixen un punt de cedènciafluència definit; en certs materials no pot definir-se la proporcionalitat de cedènciafluència fàcilment, ja que és difícil determinar amb precisió el valor de l'esforç&nbsp;<math>\sigma</math>per al qual la similitud entre<math>\sigma</math> i <math>\epsilon</math>deixi de ser lineal.&nbsp;En utilitzar la llei de Hooke en valors més grans que el límit de proporcionalitat no conduirà a cap error significatiu.&nbsp;En resistència de materials s'involucra en les propietats físiques de materials, com a resistència, ductilitat i resistència de corrosió;&nbsp;que poden afectar a causa de l'aliatge, el tractament tèrmic i el procés de manofacturamanufactura.

El comportament elàstic d'un material ortotrópicoortotròpic queda caracteritzat per nou constants independents: 3 mòduls d'elasticitat longitudinal&nbsp;<math>(E_x, E_y, E_z)</math>, 3 mòduls de rigidesa <math>(G_{xy}, G_{yz}, G_{zx})</math>&nbsp;i 3 coeficients de Poisson <math>(\nu_{xy}, \nu_{yx}, \nu_{zx})</math>&nbsp;.&nbsp;De fet per a un material ortotrópicoortotròpic la relació entre les components del&nbsp;tensor tensió&nbsp;i les components del&nbsp;tensor deformació&nbsp;ve donada per:

Un cas particular de materials ortótroposortòtropes són els&nbsp;materials transversalment isòtrops&nbsp;lineals en els quals només cal especificar cinc constants elàstiques:&nbsp;<math>\scriptstyle E_t, E_L, G_t, \nu_t, \nu_{Lt}</math>, on<math>t</math>&nbsp;es refereix a les adreces transversals a la direcció que es diu longitudinal.