Mòdul lliure: diferència entre les revisions

Posem això en una notació adequada: si <math>M\, </math> i <math>N \,</math> són espais vectorials i <math>\mathcal{B}</math> és una base de <math>M</math>, una aplicació <math>j: \mathcal{B} \longrightarrow N \,</math> informa quant a quina és la imatge de cada element de la base <math>\mathcal{B}</math> de <math>M</math> i ''només d'això''. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme <math>f: M \longrightarrow N \,</math> de manera que si <math>i: \mathcal{B} \longrightarrow M \,</math> és la injecció natural, el següent diagrama

 

|-

|-

|}

Siguin <math>A</math> un [[anell (matemàtiques)|anell]] commutatiu amb [[unitat algebraica|unitat]] i <math>S</math> un [[conjunt]]. El <math>A</math>-'''[[mòdul]] lliure sobre el conjunt de generadors''' <math>S</math>, denotat <math>F_{S}</math>, és l'únic <math>A</math>-mòdul proveït d'una aplicació <math>i: S \longrightarrow F_{S}</math> que compleix que, per qualsevol altre <math>A</math>-mòdul <math>M</math> i qualsevol aplicació <math>f: S \longrightarrow M</math>, hi ha un únic [[homomorfisme]] de mòduls, <math>\tilde{f}: F_{S} \longrightarrow M</math> que fa que el següent diagrama

 

|-

|-

|}

Comencem per veure que, si <math>h: F_{S} \longrightarrow F_{S} \,</math> és un homomorfisme de mòduls que fa <math>h \circ i = i \,</math>, aleshores <math>h</math> és la [[identitat]]. En efecte, en el diagrama de la dreta

 

|-

|-

|}

Sigui ara <math>\left(F'_{S}, i'\right) \,</math> un altre mòdul lliure sobre el conjunt de generadors <math>S</math>. Tenim els següents diagrames commutatius:

 

|-

|-

|}

o sigui,

 

|-

|-

|}

que, per substitució, dona

 

|-

|-

|}

Ara bé, segons l'observació inicial, ha de ser

 

|-

|-

|}

Per veure-ho, considerem les aplicacions

 

|-

<math>

\begin{matrix}

i la [[projecció canònica]] <math>\pi: F_{S} \longrightarrow F_{S}/M \,</math>. Aleshores, els dos diagrames

 

|-

|-

|}

La independència lineal dels elements de <math>i(S) \,</math> es pot establir així: per a un element determinat <math>s_{0} \in S \,</math>, considerem l'aplicació

 

|-

<math>

f: S \longrightarrow A

\,</math>

|-

<math>

f(s) =

En considerar l'anell <math>A \,</math> com a <math>A</math>-mòdul, hi ha el morfisme induït al mòdul lliure <math>\tilde{f}: F_{S} \longrightarrow A \,</math> que fa <math>f = \tilde{f} \circ i \,</math>. Prenem ara qualsevol suma finita

 

|-

<math>

\sum_{s \in S} a_{s} i(s) = 0

Tenim:

 

|-

<math>

0 = \tilde{f}(0) = \tilde{f}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f}\left(i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} f(s) = a_{s_{0}} f\left(s_{0}\right) = a_{s_{0}}

Inversament, tot <math>A</math>-mòdul <math>M \,</math> proveït d'una base <math>\mathcal{B} \,</math>, és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació

 

|-

<math>

i: \mathcal{B} \longrightarrow M

</math>

|-

<math>

i(b) = b

i ara, si <math>N \,</math> és un altre <math>A</math>-mòdul i <math>f: \mathcal{B} \longrightarrow N \,</math> és una aplicació qualsevol de <math>\mathcal{B}</math> a <math>N</math>, l'aplicació

 

|-

<math>

\tilde{f}: M \longrightarrow M

</math>

|-

<math>

\tilde{f}(\varphi) = \tilde{f}\left(\sum_{b \in \mathcal{B}} a_{b} b \right) = \sum_{b \in \mathcal{B}} a_{b} f(b)

és, trivialment, un homomorfisme de <math>M \,</math> a <math>N \,</math> i el següent diagrama

 

|-

|-

|}

Si <math>S \,</math> és un conjunt finit, el <math>A</math>-mòdul lliure <math>F_{S} \,</math> es diu de '''generació finita''' o '''finitament generat'''. Hom pot considerar, sense inconvenient, substituir el conjunt <math>S</math>, de <math>n</math> elements, pel conjunt finit

 

|-

<math>

\left\{1, 2, \ldots, n\right\}

Si <math>A^{n} \,</math> és l'<math>A</math>-mòdul lliure amb generadors <math>\left\{1, 2, \ldots, n\right\}</math>, i <math>A^{m} \,</math> és un altre mòdul lliure, una aplicació <math>f: \left\{1, 2, \ldots, n\right\} \longrightarrow A^{m} </math> determina un únic homomorfisme <math>\tilde{f}: A^{n} \longrightarrow A^{m} \,</math> entre ambdós mòduls. La descripció de l'aplicació <math>f \,</math> se sol fer mitjançant una [[Matriu (matemàtiques)|matriu]] de <math>m \,</math> files i <math>n \,</math> columnes,

 

|-

<math>

\begin{pmatrix}

Construirem ara efectivament el <math>A</math>-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors <math>S</math>. El conjunt <math>F_{s}</math> és el conjunt de totes les funcions <math>\varphi: S \longrightarrow A \,</math> que prenen el valor <math>0 \in A \,</math> excepte en un nombre finit d'elements de <math>S</math>. Clarament, les operacions

 

|-

<math>\left(\varphi + \psi\right)(s) = \varphi(s) + \psi(s)

\,,\qquad

Però l'aplicació <math>i: S \longrightarrow F_{S}</math> definida per

 

|-

<math>

i(s)(t) =

fa de <math>F_{s}</math> el <math>A</math>-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors <math>S</math>. En efecte, sigui <math>f: S \longrightarrow M \,</math> una aplicació del conjunt <math>S \,</math> sobre un cert <math>A</math>-mòdul <math>M \,</math>. L'aplicació

 

|-

<math>

\tilde{f}: F_{S} \longrightarrow M

\,</math>

|-

<math>

\tilde{f}(\varphi) = \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s)

és un morfisme d'<math>A</math>-mòduls perquè

 

|-

<math>

\tilde{f}(\varphi + \psi) = \sum_{s \in S} \left(\varphi + \psi\right)(s) f(s) = \sum_{s \in S} \left(\varphi(s) + \psi(s)\right) f(s) = \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s) + \sum_{s \in S} \psi(s) f(s) = \tilde{f}(\varphi) + \tilde{f}(\psi)

</math>

|-

<math>

\tilde{f}(a \varphi) = \sum_{s \in S} \left(a \varphi(s)\right) f(s) = \sum_{s \in S} a \varphi(s) f(s) = a \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s) = a \tilde{f}(\varphi)

i, si <math>\tilde{f'}: F_{S} \longleftrightarrow M \,</math> és un altre morfisme que fa <math>\tilde{f'} \circ i = f \,</math>, aleshores, per a <math>\varphi \in F_{S} \,</math>, com que <math>i(S) \,</math> genera <math>F_{S}</math>,

 

|-

<math>

\varphi = \sum_{s \in S} a_{s} i(s)

i

 

|-

<math>

\tilde{f'}\left(\varphi\right) = \tilde{f'}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f'}(i(s)) = \sum_{s \in S} a_{s} f(s) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f}(i(s)) = \tilde{f}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \tilde{f}\left(\varphi\right)