Divisió euclidiana: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
La '''divisió euclidiana''' o '''divisió entera''' és una [[operació matemàtica]] que, a dos [[nombres naturals]] anomenats '''dividend''' i '''divisor''', els associa una altres dos naturals anomenats '''quocient''' i '''residu'''. Aquesta operació, definida
Aquesta divisió és a la base de l'[[aritmètica modular]] i dóna lloc a la creació de les [[congruència sobre els enters|congruències sobre els enters]].
Línia 7:
=== Divisió euclidiana en els naturals===
<math>\forall (a,b)\in\
A dos nombres naturals ''a'' i ''b'', amb ''b'' no nul, la divisió euclidiana els
*
*
L'afirmació de l'existència i de la unicitat del residu i del quocient s'anomena el ''Teorema de la divisió euclidiana per als nombres naturals''.
Línia 19:
Es considera el conjunt ''E'' definit per:
:<math>E := \left\{ x \in \mathbb{N}\quad | \quad \exist z \in \mathbb{N}\, x = a - bz\right\}</math>
''E'' no és buit
:'''Unicitat'''
Se suposa que existeixen quatre naturals ''q''<sub>1</sub>,''q''<sub>2</sub>, ''r''<sub>1</sub> i ''r''<sub>2</sub> que formen dues parelles de solucions. Per diferència, (''q''<sub>1</sub> - ''q''<sub>2</sub>)
}}
=== Divisió euclidiana en els [[nombre enter|enters]]===
<math>\forall (a,b)\in\
A dos enters ''a'' i ''b'', amb ''b'' no nul, la divisió euclidiana els
*
*
L'afirmació de l'existència del residu i del quocient s'anomena ''Teorema de la divisió euclidiana per als enters''.
Si bé és possible de definir una divisió euclidiana tal que es garanteixi la unicitat del quocient i del residu,
{{caixa desplegable|align=left|títol=Demostració|contingut=
La definició de la divisió euclidiana sobre els naturals permet provar l'existència de dos naturals ''q''<sub>1</sub> i ''r''<sub>1</sub> tals que
: <math>|a| = |b|q_1 + r_1</math> amb <math>
Un petit estudi sobre els signes respectius de ''a''
: per ''a'' i ''b'' negatius
: per ''a'' negatiu i ''b'' positiu
: per ''a'' positiu i ''b'' negatiu
: per ''a''
Però la unicitat no és sempre guanyada si no s'imposa ''r'' positiu o nul. En efecte si ''a'' = ''bq'' + ''r'' amb ''r'' estrictament positiu llavors ''a'' = ''b''(''q''+1) + ''r'' - ''b'' amb el qual <math>|r-b| < |b|</math> dóna un altre parella solució.
}}
Línia 52:
{{Principal|Divisió de polinomis}}
La divisió euclidiana segons les potències decreixents existeix si l'anell dels polinomis està definit sobre un cos:
<math>\forall (A,B)\in\mathbb{K}[X]\times\mathbb{K}[X]^*,\quad \exists !Q, R\in\mathbb{K}[X], A=B
A dos polinomis ''A'' i ''B'' amb coeficients en un cos ''K'' amb ''B'' no nul, la divisió euclidiana els hi associa un únic quocient ''Q'' i un únic residu ''R'', que verifiquen:
* <math>A=B
* <math>\operatorname{
Aquí la unicitat està garantida però cal que ''K'' sigui un cos. Sinó de vegades la divisió encara és possible, per exemple si el coeficient del [[monomi]] de major grau de ''B'' és igual a 1, o de forma més general si el coeficient del monomi de major grau de B és invertible.
Línia 62:
{{Principal|Anell euclidià}}
En certs tipus d'anells commutatius unitaris íntegres, es pot definir una divisió euclidiana per
:''a'' = ''bq'' + ''r'' amb ''r'' = 0 o ''v''(''r'') < ''v''(''b
Si existeix una norma euclidiana sobre l'anell A, n'existeix una que verifica la propietat següent: si ''a'' i ''b'' són dos elements de ''A'' tals que ''b'' divideix ''a'', llavors ''v''(''b'')
==[[Algorisme]]s de calcul==
Tot seguit s'estudia el càlcul de divisió euclidiana de dos enters, coneixent prèviament les operacions d'addició, de
Els algorismes que es descriuen més avall calculen el quocient de la divisió euclidiana; és clar que el residu se'n dedueix directament a partir del quocient. Atenció, el contrari no seria cert.
|