Teorema de Green-Tao: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Pàgina nova, amb el contingut: «En matemàtiques, el '''teorema de Green-Tao''' és un teorema que afirma que el conjunt dels nombres primers conté [[Progressió aritmètica|progre...». |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
En [[matemàtiques]], el '''teorema de Green-Tao''' és un [[teorema]] que afirma que el conjunt dels [[nombres primers]] conté [[Progressió aritmètica|progressions aritmètiques]] arbitràriament llargues. En altres paraules, per a un [[nombre natural]] ''k'' arbitrari, existeix una progressió aritmètica de ''k'' termes de nombres primers. Aquest teorema s'anomena així en honor dels matemàtics [[Ben Joseph Green]] i [[Terence Tao]] que el varen demostrar el 2004.<ref>Ben Green and Terence Tao, [http://arxiv.org/abs/math.NT/0404188 The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions],8 Apr 2004.</ref>
== Història ==
Línia 19:
*7,37,67,97,127,157 és una progressió de raó 30 i de longitud 6
== Progressions conegudes ==
Green i Tao han demostrat que es poden trobar tals progressions de longitud tan gran com es desitgi. Però la demostració no diu com. Tot seguit es presenta una taula de les progressions més llargues conegudes<ref>Jens Kruse Andersen, [http://hjem.get2net.dk/jka/math/aprecords.htm Primes in Arithmetic Progression Records]. Retrieved on [[2008-09-08]]</ref>
{| class="wikitable"
|+ Progressions aritmètique conegudes més llargues-''k'' al maig de [[2008]]
|-
! ''k'' !! Primers des de ''n'' = 0 fins a ''k''−1 !! Dígits !! Any !! Descobridor
|-
! 3
| (1769267·2<sup>340000</sup> − 1) + (1061839·2<sup>456789</sup> − 1769267·2<sup>340000</sup>)·''n'' || 137514 || 2007 || Jens Kruse Andersen, Jiong Sun, Daniel Heuer
|-
! 4
| (100997770 + 3624707''n'')·27751# + 1 || 11961 || 2008 || Ken Davis
|-
! 5
| ((49077426729 + 681402540''n'') · 205881·4001#/35·(205881·4001# + 1) + 6) · (205881·4001# − 1) + 7 || 5132 || 2007 || Ken Davis
|-
! 6
| (32649185 + 3884057''n'')·3739# + 1 || 1606 || 2006 || Ken Davis
|-
! 7
| (143850392 + 114858412''n'')·3011# + 1 || 1290 || 2006 || Ken Davis
|-
! 8
| (4941928071 + 176836494''n'')·2411# + 1 || 1037 || 2003 || Paul Underwood, Markus Frind
|-
! 9
| (805227062 + 54790161''n'')·941# + 1 || 401 || 2006 || Mike Oakes
|-
! 10
| (1079682357 + 109393276''n'')·607# + 1 || 260 || 2006 || Mike Oakes
|-
! 11
| (631346030 + 151515939''n'')·449# + 1 || 195 || 2006 || Jeff Anderson-Lee
|-
! 12
| (1366899295 + 54290654''n'')·401# + 1 || 173 || 2006 || Jeff Anderson-Lee
|-
! 13
| (1374042988 + 22886141''n'')·173# + 1 || 78 || 2006 || Mike Oakes
|-
! 14
| (1067385825 + 193936257''n'')·151# + 1 || 69 || 2007 || Jens Kruse Andersen
|-
! 15
| (358766428 + 17143877''n'')·101# + 1 || 48 || 2005 || Jens Kruse Andersen
|-
! 16
| (636435342 + 49408956''n'')·73# + 1 || 38 || 2008 || Jeff Anderson-Lee
|-
! 17
| (1259891250 + 70154768''n'')·53# + 1 || 29 || 2007 || Jens Kruse Andersen
|-
! 18
| (1051673535 + 32196596''n'')·53# + 1 || 29 || 2007 || Jens Kruse Andersen
|-
! 19
| 62749659973280668140514103 + 107·61#·''n'' || 27 || 2007 || Jaroslaw Wroblewski
|-
! 20
| 178284683588844176017 + 53#·''n'' || 21 || 2007 || Jaroslaw Wroblewski
|-
! 21
| 1925228725347080393 + 47#·''n'' || 20 || 2007 || Jaroslaw Wroblewski
|-
! 22
| 950203555027421 + 892·37#·''n'' || 18 || 2007 || Jaroslaw Wroblewski
|-
! 23
| 660593947782971 + 5414270·23#·''n'' || 17 || 2008 || Raanan Chermoni, Jaroslaw Wroblewski
|-
! 24
| 1606021011322579 + 3490622·23#·''n'' || 17 || 2008 || Raanan Chermoni, Jaroslaw Wroblewski
|-
! 25
| 6171054912832631 + 366384·23#·''n'' || 16 || 2008 || Raanan Chermoni, Jaroslaw Wroblewski
|}
== Tècnica de la demostració==
La tècnica utilitzada té com a nova font d'inspiració la [[teoria ergòdica]], una branca dels sistemes dinàmics (o [[equacions diferencials]]). La primera utilització d'aquest mètode data sens dubte treballs de [[Hillel Furstenberg]], que va demostrar el [[teorema de Szemerédi]]. Aquest teorema afirma que una successió de densitat positiva posseeix progressions aritmètiques de longitud arbitrària. Tanmateix la successió dels nombres primers no és de densitat positiva. La proesa de Green i Tao és justament d'introduir nous mètodes que permeten esquivar aquesta dificultat.
== Extensió ==
In 2006, Tao and Tamar Ziegler va extendre el resultat per tal de cobrir progressions de polinomis.<ref>Terence Tao, Tamar Ziegler, [http://arXiv.org/abs/math.NT/0610050 The primes contain arbitrarily long polynomial progressions]</ref> Més exactament, donats qualsevulla polinomis amb coeficients enters ''P''<sub>1</sub>,..., ''P''<sub>''k''</sub> d'una incògnita ''m'', hi ha una infinitat d'enters ''x'', ''m'' tals que ''x'' + ''P''<sub>1</sub>(''m''), ..., ''x'' + ''P''<sub>''k''</sub>(''m'') són simultàniament primers. El cas especial en que els polinomis són ''m'', 2''m'', ..., ''km'' implica el resultat previ de que hi ha progresions aritmètiques de longitud ''k'' de nombres primers.
== Vegeu també ==
* [[Teorema de la progressió aritmètica]]
== Referències ==
{{amaga ref}}
[[Categoria:Teoria de nombres]]
| |||