Teorema de Taylor: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Etiqueta: editor de codi 2017 |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 59:
== Demostració ==
=== Mitjançant el teorema del valor mitjà de Cauchy ===
Enunciem el teorema a demostrar com:''<blockquote>"<math>f</math> és <math>n+1</math> vegades derivable en algun entorn del punt <math>a</math> i <math>x</math> és un punt fixat d'aquest entorn <math>\Longrightarrow f(x)=P_n^{(a)}(x)+R_n^{(a)}(x)</math> i <math>R_n^{(a)}(x)</math> s'expressa com:</blockquote>
* <math>\exists \xi</math>, entre <math>a</math> i <math>x</math>, tal que<blockquote><math>R_n^{(a)}(x)=\frac{g(x)-g(a)}{g'(\xi)}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n</math>
Linha 91 ⟶ 89:
=== Mitjançant el teorema de Rolle ===
Sigui <math>f(x)</math> una funció diferenciable <math>n+1</math> vegades en l'interval <math>[a,b]</math>, el teorema de Taylor afirma que existeix <math>\xi</math> entre <math>x</math> i <math>x_0</math> tal que<ref>{{Ref-web|url=https://people.clas.ufl.edu/kees/files/TaylorRemainderProof.pdf|títol=The Taylor Remainder Theorem|consulta=10 març 2022|llengua=anglès|editor=James Keesling}}</ref>
:<math>f(x) = f(x_0) + \sum_{j=1}^n\frac{f^{(j)}(x_0)}{j!} (x-x_0)^j + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}</math>
| |||